16．△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asinAsinB+bcos2A=2a，則角A的最大值是$\frac{π}{6}$．

分析 asinAsinB+bcos2A=2a，利用正弦定理可得：sinAsinAsinB+sinBcos2A=2sinA，化為sinB=2sinA，再利用正弦定理可得：b=2a．利用余弦定理與基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵asinAsinB+bcos2A=2a，
∴sinAsinAsinB+sinBcos2A=2sinA，
∴sinB=2sinA，∴b=2a．
∴cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\frac{3}{4}^{2}+{c}^{2}}{2bc}$≥$\frac{2\sqrt{\frac{3}{4}^{2}{c}^{2}}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{\sqrt{3}}{2}$b=c時取等號．
又A∈（0，π），∴$0＜A≤\frac{π}{6}$．
∴角A的最大值是$\frac{π}{6}$．
故答案為：$\frac{π}{6}$．

點(diǎn)評 本題考查了正弦定理余弦定理、基本不等式的性質(zhì)、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

6．函數(shù)f（a）=（3m-1）a+b-2m，當(dāng)m∈[0，1]時，0≤f（a）≤1恒成立，則$\frac{{{b^2}-{a^2}}}{ab}$的范圍是[0，$\frac{15}{4}$]．

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7．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sin\frac{π}{2}x（0≤x≤2）}\\{lo{g}_{2017}（x-1）（x＞2）}\end{array}\right.$，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），則a+b+c的取值范圍是（　�。�
A．（4，2018）B．（4，2020）C．（3，2020）D．（2，2020）

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4．若二次函數(shù)f（x）=m2x2+nx+2的圖象與x軸有交點(diǎn)，則雙曲線$\frac{x^2}{m^2}-\frac{y^2}{n^2}=1$（m＞0，n＞0）離心率e的取值范圍為（　�。�
A．（1，3]B．[3，+∞）C．$（1，\frac{{3\sqrt{2}}}{4}]$D．$[\frac{{3\sqrt{2}}}{4}，+∞）$

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11．已知函數(shù)f（x）=a（lnx-2x2）-3x，a∈R．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)a=-1時，函數(shù)g（x）=tx2-4x+1滿足對任意的x1∈（0，e]，都存在x2∈[0，1]，使得f（x1）≥g（x2）成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

1．對于函數(shù)f（x），若存在一個區(qū)間A=[a，b]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，則稱A為f（x）的一個穩(wěn)定區(qū)間，相應(yīng)的函數(shù)f（x）為“局部穩(wěn)定函數(shù)”，給出下列四個函數(shù)：①f（x）=tan$\frac{π}{4}$x；②f（x）=1-x2；③f（x）=ex-1；④f（x）=ln（x-1），所有“局部穩(wěn)定函數(shù)”的序號是①②．

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8．已知數(shù)列{bn}滿足$\frac{b_1}{2}+\frac{b_2}{2^2}+\frac{b_n}{2^3}+…+\frac{b_n}{2^n}=n（{n∈{N^*}}）$，${b_n}={2^{{a_n}-1}}$，則數(shù)列$\left\{{\frac{a_n}{b_n}}\right\}$的前7項(xiàng)和S7=$\frac{187}{64}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

5．下列有關(guān)結(jié)論正確的個數(shù)為（　�。�
①小趙、小錢、小孫、小李到4個景點(diǎn)旅游，每人只去一個景點(diǎn)，設(shè)事件A=“4個人去的景點(diǎn)不相同”，事件B=“小趙獨(dú)自去一個景點(diǎn)”，則$P=（{A|B}）=\frac{2}{9}$；
②設(shè)函數(shù)f（x）存在導(dǎo)數(shù)且滿足$\lim_{△x→∞}\frac{{f（2）-f（{2-3△x}）}}{3△x}=-1$，則曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線斜率為-1；
③設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（μ，7），若P（ξ＜2）=P（ξ＞4），則μ與Dξ的值分別為μ=3，Dξ=7．
A．0B．1C．2D．3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

6．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，如果存在正實(shí)數(shù)k，使得對于任意x∈D，都有x+k∈D．且f（x+k）＞f（x）恒成立，則稱函數(shù)f（x）為D上的“k的型增函數(shù)”，己知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)．且在x＞0時．f（x）=|x-a|-2a，若f（x）為R上的“2017的型增函數(shù)”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，$\frac{2017}{6}$）．

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