Question

6．函數(shù)f（a）=（3m-1）a+b-2m，當(dāng)m∈[0，1]時，0≤f（a）≤1恒成立，則$\frac{{{b^2}-{a^2}}}{ab}$的范圍是[0，$\frac{15}{4}$]．

Answer 1

分析 先根據(jù)恒成立寫出有關(guān)a，b的約束條件，再在aob系中畫出可行域，由斜率模型可得1≤

b

a

≤4．又

b2-a2

ab

=

b

a

-

a

b

，令

b

a

=t，則1≤t≤4，利用y=t-

1

t

在[1，4]上單調(diào)遞增，即可得出結(jié)論．

解答 解：令g（m）=（3a-2）m+b-a．
由題意當(dāng)m∈[0，1]時，0≤f（a）≤1可得

0≤g（0）≤1 0≤g（1）≤1

，
∴0≤b-a≤1，0≤2a+b-2≤1．  
即 a≤b≤1+a ①，2≤2a+b≤3  ②．
把（a，b）看作點畫出可行域，由斜率模型可得1≤

b

a

≤4．
又

b2-a2

ab

=

b

a

-

a

b

，令

b

a

=t，則1≤t≤4，
∵y=t-

1

t

在[1，4]上單調(diào)遞增，
∴t=4時，即a=

1

3

，b=

4

3

時，y有最大值是

15

4

，
t=1時，即a=1，b=1時，y有最小值是0．
故答案為：[0，$\frac{15}{4}$]．

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用線性規(guī)劃知識求最值，是中檔題．