Question

4．若二次函數(shù)f（x）=m²x²+nx+2的圖象與x軸有交點，則雙曲線$\frac{x^2}{m^2}-\frac{y^2}{n^2}=1$（m＞0，n＞0）離心率e的取值范圍為（　�。�

• A． （1，3]
• B． [3，+∞）
• C． $（1，\frac{{3\sqrt{2}}}{4}]$
• D． $[\frac{{3\sqrt{2}}}{4}，+∞）$

Answer 1

分析 由二次函數(shù)f（x）=m²x²+nx+2的圖象與x軸有交點，可得判別式不小于0，再由雙曲線的離心率公式，由不等式的性質(zhì)，即可得到所求范圍．

解答 解：二次函數(shù)f（x）=m²x²+nx+2的圖象與x軸有交點，
可得△=n²-8m²≥0，
由m＞0，n＞0，可得n≥2$\sqrt{2}$m，
雙曲線$\frac{x^2}{m^2}-\frac{y^2}{n^2}=1$（m＞0，n＞0）的離心率為：
e=$\frac{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}{m}$=$\sqrt{1+（\frac{n}{m}）^{2}}$≥$\sqrt{1+8}$=3，
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的離心率的范圍，同時考查二次函數(shù)與x軸有交點的條件，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．