Question

8．已知四邊形ABCD為圓O的內(nèi)接正方形，且AB=2，EF為圓O的一條直徑，M為正方形ABCD邊界上一動點，∠EMF=α，α滿足sin²α+cos2α=$\frac{1}{4}$，α∈（$\frac{π}{2}$，π）．
（1）求α的大��；
（2）求△MEF的周長的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角的余弦函數(shù)公式可得cos²α=$\frac{1}{4}$，結(jié)合范圍α∈（$\frac{π}{2}$，π）．即可得解．
（2）由余弦定理可得：8=ME²+MF²+ME×MF，①，利用基本不等式可得ME×MF≤$\frac{8}{3}$，利用平方和公式可求得：ME+MF≤$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，又EF+ME+MF＞2EF=4$\sqrt{2}$．從而可求△MEF的周長的取值范圍．

解答 解：（1）∵sin²α+cos2α=sin²α+cos²α-sin²α=cos²α=$\frac{1}{4}$，
∴可得：cosα=±$\frac{1}{2}$，
又∵α∈（$\frac{π}{2}$，π）．
∴解得cosα=-$\frac{1}{2}$，α=$\frac{2π}{3}$．
（2）∵在△MEF中，由余弦定理可得：EF²=ME²+MF²-2•ME•MF•cosα，即：8=ME²+MF²+ME×MF，①，
∴由①可得：8≥2ME×MF+ME×MF=3ME×MF，解得ME×MF≤$\frac{8}{3}$，
∴由①可得：（ME+MF）²=8+ME×MF≤8+$\frac{8}{3}$=$\frac{32}{3}$．解得：ME+MF≤$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
∴△MEF的周長=EF+ME+MF=2$\sqrt{2}$+ME+MF≤2$\sqrt{2}$+$\frac{4\sqrt{6}}{3}$=$\frac{6\sqrt{2}+4\sqrt{6}}{3}$．
又，EF+ME+MF＞2EF=4$\sqrt{2}$．
△MEF的周長的取值范圍：（4$\sqrt{2}$，$\frac{6\sqrt{2}+4\sqrt{6}}{3}$]．

點評 本題主要考查了二倍角的余弦函數(shù)公式的應(yīng)用，考查了余弦定理，基本不等式，平方和公式的應(yīng)用，考查了計算能力，屬于中檔題．