Question

如圖點A_n（x_n，y_n）是曲線y²=2x（y≥0）上的點，點B_n（a_n，0）是x軸上的點，△B_n-1A_nB_n是以A_n（x_n，y_n）為直角頂點的等腰三角形，其中n=1，2，3，…，B為坐標原點．
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（II）求數列b_n=2^n-1，求最小正整數m，使得對任意的n∈N^*，當n＞m時，a_n＜b_n成立．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知得拋物線方程為y=2x²，y^′=2x，根據△B_n-1A_nB_n是等腰直角三角形得到：y_n-y_n-1=2，通過解直線與拋物線組成的方程組即可求出{x_n}，{y_n}的通項公式，最后寫出數列{a_n}的通項公式．
（II）本小題考查的知識點是數學歸納法，先猜想，當n∈N^*且n＞8時，a_n＜b_n成立．要證明當n＞8時，a_n＜b_n，我們要先證明當n=8時，a_n＜b_n成立．再假設n=k時a_n＜b_n成立，進而證明出n=k+1時a_n＜b_n成立，即可得到對于任意當n∈N^*且n＞8時，a_n＜b_n成立．
解答：解：（I）∵點A_n（x_n，y_n）在曲線y²=2x（y≥0）上，
∴，．
∵△B_n-1A_nB_n是等腰直角三角形，∴，
∵y_n+y_n-1≠0，∴y_n-y_n-1=2．
由可以解得x₁=y₁=2，
∴y_n=2+2（n-1）=2n，n∈N^*．                                
∴，∴a_n=x_n+y_n=2n（n+1），n∈N^*．        
（II）∵當n=8時，a₈=144，b₈=128，當n=9時，a₉=180，b₉=256，…，
可以猜想，當n∈N^*且n＞8時，a_n＜b_n成立．下面用數學歸納法證之．   
設n=k＞9時，a_k＜b_k成立，即，2^k-1＞2k（k+1）成立，
當n=k+1時，b_k+1=2^k=2×2^k-1＞4k（k+1）=2（k+1）（k+2）+2（k+1）（k-2）
∵k＞9，∴（k+1）（k-2）＞0，∴a_k+1＜b_k+1成立．
綜上，m=8時，對任意的n∈N^*，當n＞m時，a_n＜b_n成立．
點評：本題主要考查數列與解析幾何綜合的知識點，本題是一道綜合性比較強的習題，解答本題的關鍵是準確求出數列{x_n}，{y_n}及{a_n}的通項公式，熟練利用數學歸納法等知識點，此題難度較大．