如圖,已知平面A1B1C1平行于三棱錐V-ABC的底面,等邊三角形AB1C所在平面與面ABC垂直,且∠ACB=90°,設(shè)AC=2a,BC=a.
(Ⅰ)證明:B1C1為異面直線AB1與A1C1的公垂線;
(Ⅱ)求點(diǎn)A與平面VBC的距離;
(Ⅲ)求二面角A-VB-C的大。
解法一: (Ⅰ)證明:∵平面A1B1C1∥平面ABC ∴B1C1∥BC ∵ ∴ 又∵平面平面ABC,平面平面ABC=AC ∴平面 ∴ 又∵ ∴為與的公垂線. (Ⅱ) 過作于, ∵為正三角形, ∴為中點(diǎn), ∵平面 ∴ 又∵ ∴平面 ∴線段的長(zhǎng)即為到平面的距離 在等邊三角形中, ∴點(diǎn)到平面的距離為. (Ⅲ) 過D作于H,連結(jié)AH 由三垂線定理知 ∴是二面角的平面角 在中,,~, ∴,∴ 所以,二面角的大小為. 法二:取中點(diǎn),連結(jié),易知平面, 過作直線∥交于 取為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),、、所在直線分別為x,y,z如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則
(Ⅰ) ∴ ∴,∴, 又∵∥,由已知,∥ ∴, 即為與的公垂線. (Ⅱ)設(shè)是平面的一個(gè)法向量,又, 則,即,令,則x=0,y=3 ∴ 設(shè)所求距離為d,
∴點(diǎn)到平面的距離為. (Ⅲ)設(shè)平面的一個(gè)法向量為,又 則則令,則s=6,t=-3 即,設(shè)二面角為,
又二面角為銳角 二面角的大小為. |
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B1Q | QD |
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