Question

如圖，已知平面A₁B₁C₁平行于三棱錐V－ABC的底面，等邊三角形AB₁C所在平面與面ABC垂直，且∠ACB＝90°，設(shè)AC＝2a，BC＝a．

(Ⅰ)證明：B₁C₁為異面直線AB₁與A₁C₁的公垂線；

(Ⅱ)求點(diǎn)A與平面VBC的距離；

(Ⅲ)求二面角A－VB－C的大�。�

Answer 1

答案：
解析：

解法一： 　　(Ⅰ)證明：∵平面A1B1C1∥平面ABC 　　∴B1C1∥BC 　　∵ 　　∴ 　　又∵平面平面ABC，平面平面ABC＝AC 　　∴平面 　　∴ 　　又∵ 　　∴為與的公垂線． 　　(Ⅱ) 　　過作于， 　　∵為正三角形， 　　∴為中點(diǎn)， 　　∵平面 　　∴ 　　又∵ 　　∴平面 　　∴線段的長(zhǎng)即為到平面的距離 　　在等邊三角形中， 　　∴點(diǎn)到平面的距離為． 　　(Ⅲ) 　　過D作于H，連結(jié)AH 　　由三垂線定理知 　　∴是二面角的平面角 　　在中，，～， 　　∴，∴ 　　所以，二面角的大小為． 　　法二：取中點(diǎn)，連結(jié)，易知平面， 　　過作直線∥交于 　　取為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，、、所在直線分別為x，y，z如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則 　　 　　(Ⅰ) 　　∴ 　　∴，∴， 　　又∵∥，由已知，∥ 　　∴， 　　即為與的公垂線． 　　(Ⅱ)設(shè)是平面的一個(gè)法向量，又， 　　則，即，令，則x＝0，y＝3 　　∴ 　　設(shè)所求距離為d， 　　 　　∴點(diǎn)到平面的距離為． 　　(Ⅲ)設(shè)平面的一個(gè)法向量為，又 　　則則令，則s＝6，t＝－3 　　即，設(shè)二面角為， 　　 　　又二面角為銳角 　　二面角的大小為．