Question

3．已知e為自然對數(shù)的底數(shù)，若對任意的x₁∈[0，1]，總存在唯一的x₂∈[-1，1]，使得x₁+x₂²•e${\;}^{{x}_{2}}$-a=0成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [1，e]
• B． （1，e]
• C． （1+$\frac{1}{e}$，e]
• D． [1+$\frac{1}{e}$，e]

Answer 1

分析 由x₁+x₂²•e${\;}^{{x}_{2}}$-a=0成立，解得x₂²•e${\;}^{{x}_{2}}$=a-x₁，根據(jù)題意可得：a-1≥（-1）²e^-1，且a-0≤1²×e¹，解出并且驗證等號是否成立即可得出答案．

解答 解：由x₁+x₂²•e${\;}^{{x}_{2}}$-a=0成立，解得x₂²•e${\;}^{{x}_{2}}$=a-x₁，
∴對任意的x₁∈[0，1]，總存在唯一的x₂∈[-1，1]，使得x₁+x₂²•e${\;}^{{x}_{2}}$-a=0成立，
∴a-1≥（-1）²e^-1，且a-0≤1²×e¹，
解得1+$\frac{1}{e}$≤a≤e，其中a=1+$\frac{1}{e}$時，x₂存在兩個不同的實數(shù)，因此舍去，a的取值范圍是（1+$\frac{1}{e}$，e]．
故選：C．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．