Question

已知函數(shù)f（x）=ln（a+x）-ln（a-x）（a＞0）．
（Ⅰ）曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=2x，求a的值；
（Ⅱ）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥2x+

2x3

3

，試求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求a的值；
（Ⅱ）當(dāng)x≥0時(shí)，構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-2x-

2x3

3

，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可求a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=

1

a+x

+

1

a-x

，
曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線斜率k=f′（0）=

1

a

+

1

a

=

2

a

=2，
解得a=1；

（Ⅱ）當(dāng)x≥0時(shí)，設(shè)g（x）=f（x）-（2x+

2x3

3

），
則g′（x）=f′（x）-2-2x²=

1

a+x

+

1

a-x

-2-2x²=

2a

a2-x2

-2-2x²=

2

a2-x2

[x⁴-（a²-1）x²+a-a²]
①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，a²-1＜0，a-a²＞0，
當(dāng)0≤x＜a時(shí)，x⁴-（a²-1）x²+a-a²＞0，即g′（x）≥0，
則函數(shù)g（x）在[0，a）上為增函數(shù)，
∴g（x）≥g（0）=0，即此時(shí)f（x）≥2x+

2x3

3

，成立．
②當(dāng)a＞1時(shí)，a²-1＞0，a-a²＜0
∴0＜x＜

a2-1

＜a時(shí)，x²-（a²-1）＜0，
從而x⁴-（a²-1）x²+a-a²＜0，即g′（x）＜0，
即函數(shù)g（x）在（0，

a2-1

）上為減函數(shù)，
∴當(dāng)0＜x＜

a2-1

時(shí)，g（x）＜g（0）=0，與題意不符，
綜上當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥2x+

2x3

3

時(shí)．a(chǎn)的取值范圍是0＜a＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．