已知函數(shù)f(x)=x3-3x,g(x)=ex-ax(a∈R).其中e是自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)求曲線f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程;
(Ⅱ)若函數(shù)F(x)=g(x)-1-xlnx(x∈(0,2]),求證:當(dāng)a<e-1時,函數(shù)F(x)無零點(diǎn);
(Ⅲ)已知正數(shù)m滿足:存在x0∈[1,+∞)使得g(x0)+g(-x0)<mf(-x0)成立,且me-1>em-1,
求m的取值范圍.
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值
專題:計算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(Ⅰ)求導(dǎo)f′(x)=3x2-3,從而得到切線斜率為f′(2)=9,從而寫出切線方程;
(Ⅱ)化簡F(x)=ex-1-ax-xlnx,從而得a=
ex-1
x
-lnx
,設(shè)h(x)=
ex-1
x
-lnx
,求導(dǎo)h′(x)=
(ex-1)(x-1)
x2
,從而化為最值問題;
(Ⅲ)化簡G(x)=g(x)+g(-x)=ex+e-x,從而G′(x)=ex-e-x,當(dāng)x>1時G′(x)>0,從而證明單調(diào)性;再令h(x)=mf(-x)=m(-x3+3x),h′(x)=-3m(x2-1),從而確定函數(shù)的單調(diào)性;從而可化得(e-1)lnm-m+1>0,設(shè)H(m)=(e-1)lnm-m+1,從而求導(dǎo)H′(m)=
e-1
m
-1=
e-1-m
m
 , m>0
,化為最值問題.
解答: 解:(Ⅰ)由f(x)=x3-3x得f′(x)=3x2-3,
因點(diǎn)(2,f(2))在曲線上,
所以切線斜率為f′(2)=9,
切線方程為y-2=9(x-2),
故直線方程為9x-y-16=0;
(Ⅱ)證明:因為F(x)=ex-1-ax-xlnx,
由F(x)=0得,a=
ex-1
x
-lnx
,
設(shè)h(x)=
ex-1
x
-lnx
,
h′(x)=
(ex-1)(x-1)
x2

當(dāng)0<x<1時,h′(x)<0,當(dāng)1<x<2時,h′(x)>0,
所以h(x)在(0,1)單調(diào)遞減,(1,2)單調(diào)遞增,
又h(1)=e-1,
所以當(dāng)a<e-1時,函數(shù)F(x)無零點(diǎn);
(Ⅲ)G(x)=g(x)+g(-x)=ex+e-x,
則G′(x)=ex-e-x,當(dāng)x>1時G′(x)>0,
∴G(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,
令h(x)=mf(-x)=m(-x3+3x),h′(x)=-3m(x2-1),
∵m>0,x>1,
∴h′(x)<0,
即h(x)在x∈(1,+∞)上單調(diào)遞減,
∵存在x0∈[1,+∞),使得g(x0)+g(-x0)<m(-x03+3x0),
G(1)=e+
1
e
<2m
,
m>
1
2
(e+
1
e
)
,
∵me-1>em-1
∴(e-1)lnm>m-1,
即(e-1)lnm-m+1>0,
設(shè)H(m)=(e-1)lnm-m+1,
H′(m)=
e-1
m
-1=
e-1-m
m
 , m>0
,
當(dāng)0<m<e-1時,H′(m)>0,H(m)單調(diào)遞增,
當(dāng)m>e-1時,H′(m)<0,H(m)單調(diào)遞減,
而H(1)=H(e)=0,
所以使H(m)>0的m滿足1<m<e;
故符合條件的m滿足
1
2
(e+
1
e
)<m<e
點(diǎn)評:本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題化為最值問題的應(yīng)用,屬于難題.
練習(xí)冊系列答案
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某單位200名職工中,年齡在50歲以上占20%,40~50歲占30%,40歲以下占50%;現(xiàn)要從中抽取40名職工作樣本.若用系統(tǒng)抽樣法,將全體職工隨機(jī)按1~200編號,并按編號順序平均分為40組(1~5號,6~10號,…,196~200號).若第5組抽出的號碼為22,則第8組抽出的號碼應(yīng)是①;若用分層抽樣方法,則40歲以下年齡段應(yīng)抽、谌耍佗趦商帒(yīng)填寫的數(shù)據(jù)分別為( 。
A、82,20B、37,20
C、37,4D、37,50

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如圖,已知PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD∥BC,PD=DC=BC;
(Ⅰ)求異面直線PB與AD所成角的余弦值; 
(Ⅱ)若AD=
1
2
BC,E為PC的中點(diǎn),求證:DE∥平面PAB.

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如圖,某三棱柱的正視圖中的實(shí)線部分是邊長為4的正方形,俯視圖是等邊三角形,則該三棱柱的側(cè)視圖的面積為
 

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在平面直角坐標(biāo)系xOy中,如果菱形OABC的邊長為2,點(diǎn)B在y軸上,則菱形內(nèi)(不含邊界)的整點(diǎn)(橫縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn))個數(shù)的取值集合是(  )
A、{1,3}
B、{0,1,3}
C、{0,1,3,4}
D、{0,1,2,3,4}

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已知:如圖①,在矩形ABCD中,AB=5,AD=
20
3
,AE⊥BD,垂足是E,點(diǎn)F是點(diǎn)E關(guān)于AB的對稱點(diǎn),連接AF、BF
(1)求AE和BE的長;
(2)若將△ABF沿著射線BD方向平移.設(shè)平移的距離為m(平移距離指點(diǎn)B沿BD方向所經(jīng)過的線段長度).當(dāng)點(diǎn)F分別平移到線段AB、AD上時,直接寫出相應(yīng)的m的值;
(3)如圖②,將△ABF繞點(diǎn)B順時針旋一個角α(0°<α<180°),記旋轉(zhuǎn)中的△ABF為△A′BF′,在旋轉(zhuǎn)過程中,設(shè)A′F′所在的直線與直線AD交于點(diǎn)P,與直線BD交于點(diǎn)Q.是否存在這樣的P、Q兩點(diǎn),使△DPQ為等腰三角形?若存在,求出此時DQ的長;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ln(a+x)-ln(a-x)(a>0).
(Ⅰ)曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y=2x,求a的值;
(Ⅱ)當(dāng)x≥0時,f(x)≥2x+
2x3
3
,試求a的取值范圍.

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如圖.正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)O為B1D1的中點(diǎn).求證:
(Ⅰ)AO∥面BC1D;
(Ⅱ)AO⊥BD.

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在數(shù)列an中,已知a1=a2=1,an+an+2=λ+2an+1
(1)證明a1,a4,a5成等差數(shù)列;
(2)設(shè)Cn=2an+2-an ,求數(shù)列{Cn}的前n項和為Sn
(3)當(dāng)λ≠0時,數(shù)列{an-1}中是否存在三項as+1-1,at+1-1,ap+1-1成等比數(shù)列,且s,t,p也成等比數(shù)列,若存在,求出s,t,p的值;若不存在,請說明理由.

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