Question

若在曲線(xiàn)f（x，y）=0（或y=f（x））上兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線(xiàn)重合，則稱(chēng)這條切線(xiàn)為曲線(xiàn)f（x，y）=0或y=f（x）的“自公切線(xiàn)”．下列方程：
①x²-y²=1；
②y=x²-|x|；
③y=3sinx+4cosx；
④|x|+1=
對(duì)應(yīng)的曲線(xiàn)中存在“自公切線(xiàn)”的有（ ）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④

Answer 1

【答案】分析：化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，結(jié)合函數(shù)的圖象的特征，判斷此函數(shù)是否有自公切線(xiàn)．
解答：解：①、x²-y²=1 是一個(gè)等軸雙曲線(xiàn)，沒(méi)有自公切線(xiàn)；
②、y=x²-|x|=，在 x= 和 x=- 處的切線(xiàn)都是y=-，故②有自公切線(xiàn)．
③、y=3sinx+4cosx=5sin（x+φ），cosφ=，sinφ=，
此函數(shù)是周期函數(shù)，過(guò)圖象的最高點(diǎn)的切線(xiàn)都重合，故此函數(shù)有自公切線(xiàn)．
④、由于|x|+1=，即 x²+2|x|+y²-3=0，結(jié)合圖象可得，此曲線(xiàn)沒(méi)有自公切線(xiàn)．
故答案為 C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的自公切線(xiàn)的定義，函數(shù)圖象的特征，準(zhǔn)確判斷一個(gè)函數(shù)是否有自公切線(xiàn)，是解題的難點(diǎn)．