Question

18．已知實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x+4y-16≤0}\\{3x+y-15≤0}\\{x＞0}\\{y＞0}\end{array}\right.$，且z=ax+y的最大值為7，則a的值為（　�。�

• A． 1
• B． -1
• C． $\frac{7}{5}$
• D． -$\frac{7}{5}$

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合確定z的最大值．

解答 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．
則A（0，4），B（4，3），C（5，0）
若z=ax+y過A時取得最大值為7，則z=4≠7，不滿足條件．
若z=ax+y過C時取得最大值為7，則5a=7，解得a=$\frac{7}{5}$，
此時，目標函數(shù)為z=$\frac{7}{5}$x+y，
即y=-$\frac{7}{5}$x+z，此時目標函數(shù)的斜率k=-$\frac{7}{5}$，BC的斜率為-3，
則-$\frac{7}{5}$＞-3，不滿足條件．
若若z=ax+y過B時取得最大值為7，則4a+3=7，解得a=1，
此時目標函數(shù)為z=x+y，
即y=-x+z，平移直線y=-x+z，當直線經(jīng)過B時，截距最大，此時z最大為7，滿足條件，
綜上a=1，
故選：A

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，結(jié)合目標函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想是解決此類問題的基本方法，確定目標函數(shù)的斜率關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．