Question

9．已知數(shù)列{a_n}的首項a₁=a（a≠0），前n項和S_n=$\frac{n+1}{2}$a_n，數(shù)列{b_n}滿足b_n=|a_n-1|，若b_n≥b₃對任意正整數(shù)n恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，0）∪$[\frac{1}{2}，+∞）$．

Answer 1

分析 a₁=a≠0，S_n=$\frac{n+1}{2}$a_n，當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，化為$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n}{n-1}$．利用“累乘求積”可得a_n=na．利用b_n=|a_n-1|=|na-1|，b_n≥b₃對任意正整數(shù)n恒成立，可得|na-1|≥|3a-1|，化簡整理解出即可．

解答 解：∵a₁=a≠0，S_n=$\frac{n+1}{2}$a_n，
∴當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n+1}{2}{a}_{n}$-$\frac{n}{2}{a}_{n-1}$，
化為$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n}{n-1}$．
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁=$\frac{n}{n-1}$$•\frac{n-1}{n-2}$•…•$\frac{2}{1}$×a=na．
∴b_n=|a_n-1|=|na-1|，
∵b_n≥b₃對任意正整數(shù)n恒成立，
∴|na-1|≥|3a-1|，
化為a$（a-\frac{2}{n+3}）$≥0，a≠0．
∴a＜0或a$≥\frac{2}{n+3}$，
∴a＜0或$a≥\frac{1}{2}$．
∴a的取值范圍是：（-∞，0）∪$[\frac{1}{2}，+∞）$．
故答案為：（-∞，0）∪$[\frac{1}{2}，+∞）$．

點(diǎn)評 本題考查了遞推式的應(yīng)用、絕對值的應(yīng)用、一元二次不等式的解法、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．