Question

15．下列說法正確的是②③④
①已知sinθ+cosθ=$\frac{7}{13}$，θ∈（0，π），則tanθ=$\frac{12}{5}$
②已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{4}$），其中ω＞0，且函數(shù)f（x）的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于$\frac{π}{3}$，若函數(shù)f（x）的圖象向左平移m個單位所對應的函數(shù)是偶函數(shù)，則最小正實數(shù)m=$\frac{π}{12}$
③已知函數(shù)f（x）=3sin（ωx-$\frac{π}{6}$）（ω＞0）和g（x）=2cos（2x+φ）+1的圖象的對稱軸完全相同，若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，則f（x）的取值范圍是[-$\frac{3}{2}$，3]
④設函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常數(shù)，A＞0，ω＞0）若f（x）在區(qū)間[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上具有單調(diào)性，且f（$\frac{π}{2}$）=f（$\frac{2π}{3}$）=-f（$\frac{π}{6}$），則f（x）的最小正周期為π

Answer 1

分析 對于①sinθ+cosθ=$\frac{7}{13}$，兩邊平方得到sinθcosθ=-$\frac{60}{169}$，解得sinθ=$\frac{12}{13}$，cosθ=-$\frac{5}{13}$，即tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=-$\frac{12}{5}$．故可判斷；
對于②由函數(shù)f（x）的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于$\frac{π}{3}$=$\frac{T}{2}$，根據(jù)周期公式可得ω=3，函數(shù)f（x）的圖象向左平移m個單位后所對應的函數(shù)g（x）=sin（3x+3m+$\frac{π}{4}$）．為偶函數(shù)則根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可得對稱軸y軸將取得函數(shù)的最值則m=$\frac{kπ}{3}$+$\frac{π}{12}$（k∈Z）時從而可求m，故可判斷；
對于③先根據(jù)函數(shù)f（x）和g（x）的圖象的對稱軸完全相同確定ω的值，再由x的范圍確定ωx-$\frac{π}{6}$的范圍，最后根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得到f（x）的取值范圍是[-$\frac{3}{2}$，3]．
故可判斷；
對于④由由f（$\frac{π}{2}$）=f（$\frac{2π}{3}$）得出函數(shù)的一條對稱軸，結(jié)合f（x）在區(qū)間[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上具有單調(diào)性，且可得到函數(shù)的半周期，進一步求得周期T=π，故可判斷；

解答 解：對于①解：∵sinθ+cosθ=$\frac{7}{13}$，
∴（sinθ+cosθ）²=$\frac{49}{169}$，
整理得：sin²θ+2sinθcosθ+cos²θ=1+2sinθcosθ=$\frac{49}{169}$，
即sinθcosθ=-$\frac{60}{169}$，
∵θ∈（0，π），
解得：sinθ=$\frac{12}{13}$，cosθ=-$\frac{5}{13}$，
則tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=-$\frac{12}{5}$．
故①錯誤；
對于②解：依題意函數(shù)f（x）的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于$\frac{π}{3}$，
可得$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{3}$，T=$\frac{2π}{3}$，
根據(jù)周期公式T=$\frac{2π}{ω}$，可得ω=3，
∴f（x）=sin（3x+$\frac{π}{4}$），
∵函數(shù)f（x）的圖象向左平移m個單位后所對應的函數(shù)g（x）=sin[3（x+m）+$\frac{π}{4}$]=sin（3x+3m+$\frac{π}{4}$），
所以當且僅當3m+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），即m=$\frac{kπ}{3}$+$\frac{π}{12}$（k∈Z）時，g（x）是偶函數(shù)，從而，最小正實數(shù)m=$\frac{π}{12}$．
故②正確；
對于③由題意可得ω=2，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴ωx-$\frac{π}{6}$=2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
由三角函數(shù)圖象知：f（x）的最小值為3sin（-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{3}{2}$，最大值為3sin$\frac{π}{2}$=3，f（x）的取值范圍是[-$\frac{3}{2}$，3]．
故③正確；
對于④：由f（$\frac{π}{2}$）=f（$\frac{2π}{3}$）得到：函數(shù)的對稱軸方程x=$\frac{1}{2}$（$\frac{π}{2}$+$\frac{2π}{3}$）=$\frac{7π}{12}$，
則：x=$\frac{π}{2}$離最近的對稱軸的距離為：$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{2}$=$\frac{π}{12}$，
又f（$\frac{π}{2}$）=-f（$\frac{π}{6}$），且函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上具有單調(diào)性，
所以：x=$\frac{π}{6}$離最近的對稱軸的距離也為$\frac{π}{12}$，
則$\frac{T}{2}$=$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{12}$=$\frac{π}{2}$，
所以：T=π，
故④正確．
故答案為：②③④．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)化簡與計算，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角函數(shù)的圖象平移及偶函數(shù)的性質(zhì)，運算量大，屬于中檔題．