Question

4．已 知橢圓C₁：：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）與雙曲線C₂有公共焦點(diǎn)F₁、F₂，（F₁、F₂分別為左、右焦點(diǎn)），它們?cè)诘谝幌笙藿挥邳c(diǎn)M，離心率分別為e₁和e₂，線段MF₁的垂直平分線過F₂，則$\frac{1}{e_1}+\frac{e_2}{2}$的最小值為$2+\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 通過圖象可知F₁F₂=F₂M=2c，利用橢圓、雙曲線的定義及離心率公式可得$\frac{1}{e_1}+\frac{e_2}{2}$=2+$\frac{{a}_{2}}{c}$+$\frac{c}{2{a}_{2}}$，通過基本不等式即得結(jié)論．

解答 解：由題意可知：F₁F₂=F₂M=2c，
又∵F₁M+F₂M=2a₁，F(xiàn)₁M-F₂M=2a₂，
∴F₁M+2c=2a₁，F(xiàn)₁M-2c=2a₂，
兩式相減，可得：a₁-a₂=2c，
∵$\frac{1}{e_1}+\frac{e_2}{2}$=$\frac{{a}_{1}}{c}$+$\frac{c}{2{a}_{2}}$=$\frac{2{a}_{1}{a}_{2}+{c}^{2}}{2c{a}_{2}}$，
∴$\frac{1}{e_1}+\frac{e_2}{2}$=$\frac{2（2c+{a}_{2}）{a}_{2}+{c}^{2}}{2c{a}_{2}}$=$\frac{4c{a}_{2}+2{{a}_{2}}^{2}+{c}^{2}}{2c{a}_{2}}$=2+$\frac{{a}_{2}}{c}$+$\frac{c}{2{a}_{2}}$，
∵$\frac{{a}_{2}}{c}$+$\frac{c}{2{a}_{2}}$≥2$\sqrt{\frac{{a}_{2}}{c}•\frac{c}{2{a}_{2}}}$=2$\sqrt{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{{a}_{2}}{c}$=$\frac{c}{2{a}_{2}}$時(shí)等號(hào)成立，
∴$\frac{1}{e_1}+\frac{e_2}{2}$的最小值為2+$\sqrt{2}$，
故答案為：$2+\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．