Question

已如數(shù)列T_A={x|x=a_i+a_j，1≤i＜j≤n，card（T_A）表示集合T_A中元素個(gè)數(shù)．
（1）若A：1，3，5，7，9，則card（T_A）

 

；
（2）若a_i+1-a_i=c（c為常數(shù)，1≤i≤n-1），則card（T_A）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：元素與集合關(guān)系的判斷

專(zhuān)題：集合

分析：（1）由于集合A共有5個(gè)元素，任取兩個(gè)數(shù)共有

C

2 5

種取法，可得到7個(gè)不同的和，即可得出．
（2）對(duì)c分類(lèi)討論：當(dāng)c=0時(shí)，a_i+1=a_i，數(shù)列{a_n}為常數(shù)列，即可得出；
當(dāng)c≠0時(shí)，由于a_i+1-a_i=c（c為常數(shù)），可知：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：（1）∵1+3=4，1+5=6，1+7=3+5=8，3+9=5+7=12，1+9=3+7=10，5+9=14，7+9=16，
∴T_A={4，6，8，10，12，14，16}，
∴card（T_A）=7．
（2）當(dāng)c=0時(shí)，a_i+1=a_i，數(shù)列{a_n}為常數(shù)列，任意兩個(gè)項(xiàng)的和都相等為常數(shù)，card（T_A）=1；
當(dāng)c≠0時(shí)，∵a_i+1-a_i=c（c為常數(shù)），∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，首項(xiàng)為a₁，公差為c，∴a_i=a₁+（i-1）c，a_j=a₁+（j-1）c，其中1≤i＜j≤n．
∴a_i+a_j=2a₁+（i+j-2）c，∵i+j有n-1+n-1-2+1=2n-3種取法，∴此時(shí)T_n中的元素個(gè)數(shù)為2n-3．
故答案分別為：7，card（T_A）=

1，c=0 2n-3，c≠0

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了集合的有關(guān)知識(shí)、等差數(shù)列的性質(zhì)、分類(lèi)討論的思想方法，考查了推理能力和解決問(wèn)題的能力，屬于難題．