Question

3．已知函數(shù)f（x）=x³+ax+b的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，且與x軸相切．
（1）求實數(shù)a，b的值．
（2）是否存在正實數(shù)m，n，使函數(shù)g（x）=3-|f（x）|在區(qū)間[m，n]上的值域仍為[m，n]？若存在，求出m，n的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件，說明函數(shù)是奇函數(shù)，求出b的值，利用函數(shù)與x軸相切，求出a的值即可；
（2）假設(shè)存在正實數(shù)m，n滿足題意，因g（x）=3-x³在區(qū)間[m，n]上是減函數(shù)，利用$\left\{\begin{array}{l}{g（m）=n}\\{g（n）=m}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{3}+n=3}\\{{n}^{3}+m=3}\end{array}\right.$，兩式相減，結(jié)合基本不等式，即可得到與條件矛盾，此時m，n不存在．

解答 解：（1）由f（x）的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，
即有f（-x）=-f（x）可得b=0，
設(shè)曲線C與x軸切于T（t，0），
則$\left\{\begin{array}{l}{f（t）=0}\\{f′（t）=0}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{3}+at=0}\\{3{t}^{2}+a=0}\end{array}\right.$⇒a=t=0⇒f（x）=x³．
（2）假設(shè)存在正實數(shù)m，n滿足題意．
因g（x）=3-x³在區(qū)間[m，n]上是減函數(shù)，
故$\left\{\begin{array}{l}{g（m）=n}\\{g（n）=m}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{3}+n=3}\\{{n}^{3}+m=3}\end{array}\right.$，
兩式相減可得m²+mn+n²=1⇒（m+n）²-mn=1，
由于mn＜$\frac{（m+n）^{2}}{4}$⇒（m+n）²-$\frac{（m+n）^{2}}{4}$＜1⇒m+n＜$\frac{2}{\sqrt{3}}$．
由0＜m＜n，⇒m＜$\frac{1}{\sqrt{3}}$，n＜$\frac{2}{\sqrt{3}}$⇒m³+n＜$\frac{7}{3\sqrt{3}}$＜3，與條件矛盾，
此時m，n不存在．

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與曲線的切線方程的求法，函數(shù)的零點，函數(shù)的值域的應(yīng)用，考查分析問題與解決問題的能力，屬于中檔題．