Question

12．某市環(huán)保部門對市中心每天的環(huán)境污染情況進(jìn)行調(diào)查研究后，發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合污染指數(shù)f（x）與時刻x（時）的關(guān)系為$f（x）=|{\frac{x}{{{x^2}+1}}-a}|+2a+\frac{3}{4}$，x∈[0，24），其中a是與氣象有關(guān)的參數(shù)，且$a∈[{0\;，\;\frac{1}{2}}]$．若用每天f（x）的最大值為當(dāng)天的綜合污染指數(shù)，并記作M（a）．
（1）令t=$\frac{x}{{{x^2}+1}}$，x∈[0，24），求t的取值范圍；
（2）求M（a）的表達(dá)式，并規(guī)定當(dāng)M（a）≤2時為綜合污染指數(shù)不超標(biāo)，求當(dāng)a在什么范圍內(nèi)時，該市市中心的綜合污染指數(shù)不超標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用取倒數(shù)，求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，可得t的取值范圍；
（2）分段求出每天的綜合放射性污染指數(shù)不超過2時a的范圍，即可得到結(jié)論．

解答 （本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分（5分），第2小題滿分（9分）．
解：（1）當(dāng)x=0時，t=0；   …（2分）
當(dāng)0＜x＜24時，因?yàn)閤²+1≥2x＞0，所以$0＜\frac{x}{{{x^2}+1}}≤\frac{1}{2}$，…（4分）
即t的取值范圍是$[{0\;，\;\frac{1}{2}}]$．    …（5分）
（2）當(dāng)$a∈[{0\;，\;\frac{1}{2}}]$時，由（1），令$t=\frac{x}{{{x^2}+1}}$，則$t∈[{0\;，\;\frac{1}{2}}]$，…（1分）
所以$f（x）=g（t）=|t-a|+2a+\frac{3}{4}$=$\left\{\begin{array}{l}3a-t+\frac{3}{4}\;，\;0≤t≤a\;\\ t+a+\frac{3}{4}\;\;，\;\;a＜t≤\frac{1}{2}\;\end{array}\right.$…（3分）
于是，g（t）在t∈[0，a]時是關(guān)于t的減函數(shù)，在$t∈（{a\;，\;\frac{1}{2}}]$時是增函數(shù)，
因?yàn)?g（0）=3a+\frac{3}{4}$，$g（{\frac{1}{2}}）=a+\frac{5}{4}$，由$g（0）-g（{\frac{1}{2}}）=2a-\frac{1}{2}$，
所以，當(dāng)$0≤a≤\frac{1}{4}$時，$M（a）=g（{\frac{1}{2}}）=a+\frac{5}{4}$；
當(dāng)$\frac{1}{4}＜a≤\frac{1}{2}$時，$M（a）=g（0）=3a+\frac{3}{4}$，
即$M（a）=\left\{\begin{array}{l}a+\frac{5}{4}\;，\;0≤a≤\frac{1}{4}\;\\ 3a+\frac{3}{4}\;，\;\frac{1}{4}＜a≤\frac{1}{2}\;.\end{array}\right.$…（6分）
由M（a）≤2，解得$0≤a≤\frac{5}{12}$． …（8分）
所以，當(dāng)$a∈[{0\;，\;\frac{5}{12}}]$時，綜合污染指數(shù)不超標(biāo)．  …（9分）

點(diǎn)評 本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用及分類討論的思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．