Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）=x²+ax+b，（a，b∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)b=$\frac{{a}^{2}}{4}$+1時(shí)，求函數(shù)f（x）在[-1，1]上的最小值g（a）的表達(dá)式；
（Ⅱ）若b=a+1且函數(shù)f（x）在[-1，1]上存在兩個(gè)不同零點(diǎn)，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（Ⅲ）若b=a+1且函數(shù)f（x）在[-1，1]上存在一個(gè)零點(diǎn)，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程，討論對(duì)稱(chēng)軸和區(qū)間[-1，1]的關(guān)系，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性即可得到最小值；
（Ⅱ）求出f（x）的對(duì)稱(chēng)軸方程，由題意可得f（x）=0在[-1，1]有兩個(gè)不等的實(shí)根，即有△＞0，f（-1）≥0，f（1）≥0，-1＜-$\frac{a}{2}$＜1，解不等式即可得到所求范圍；
（Ⅲ）由題意可得f（x）=0在[-1，1]有一個(gè)實(shí)根，即有△=a²-4（a+1）=0，或f（-1）f（1）≤0，解不等式可得所求范圍，注意檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)b=$\frac{{a}^{2}}{4}$+1時(shí)，f（x）=（x+$\frac{a}{2}$）²+1，
對(duì)稱(chēng)軸為x=-$\frac{a}{2}$，
當(dāng)a≤-2時(shí)，函數(shù)f（x）在[-1，1]上遞減，則g（a）=f（1）=$\frac{{a}^{2}}{4}$+a+2；
當(dāng)-2＜a≤2時(shí)，即有-1≤-$\frac{a}{2}$＜1，則g（a）=f（-$\frac{a}{2}$）=1；
當(dāng)a＞2時(shí)，函數(shù)f（x）在[-1，1]上遞增，則g（a）=f（-1）=$\frac{{a}^{2}}{4}$-a+2．
綜上可得，g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}^{2}}{4}+a+2，a≤-2}\\{1，-2＜a≤2}\\{\frac{{a}^{2}}{4}-a+2，a＞2}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）=x²+ax+a+1，對(duì)稱(chēng)軸為x=-$\frac{a}{2}$，
由題意可得f（x）=0在[-1，1]有兩個(gè)不等的實(shí)根，
即有$\left\{\begin{array}{l}{△={a}^{2}-4（a+1）＞0}\\{f（-1）=1-a+a+1≥0}\\{f（1）=2（1+a）≥0}\\{-1＜-\frac{a}{2}＜1}\end{array}\right.$即有$\left\{\begin{array}{l}{a＞2+2\sqrt{2}或a＜2-2\sqrt{2}}\\{a≥-1}\\{-2＜a＜2}\end{array}\right.$，
解得-1≤a＜2-2$\sqrt{2}$；
（Ⅲ）函數(shù)f（x）=x²+ax+a+1，
由題意可得f（x）=0在[-1，1]有一個(gè)實(shí)根，
即有△=a²-4（a+1）=0，或f（-1）f（1）≤0，
解得a=2$±2\sqrt{2}$，或a≤-1，
當(dāng)a=2$±2\sqrt{2}$，f（x）=0，可得x=-（1+$\sqrt{2}$）（舍去），
或-1+$\sqrt{2}$∈[-1，1]；
當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=x²-x=0，解得x=0或1（舍去），
綜上可得a的范圍是a＜-1或a=2-2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求法，同時(shí)考查二次方程和函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系，注意分類(lèi)討論的思想方法的運(yùn)用，屬于中檔題．