Question

11．已知在直角坐標(biāo)系xoy中，圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
（1）以原點(diǎn)為極點(diǎn)、x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求圓C的極坐標(biāo)方程；
（2）直線l的極坐標(biāo)方程是θ=$\frac{π}{3}$，且直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，試求弦AB的長．

Answer 1

分析 （1）先求出圓C的普通方程，再由由ρ²=x²+y²，x=ρcosα，y=ρsinα，能求出圓C的極坐標(biāo)方程．
（2）直線l的直角坐標(biāo)方程是y=$\sqrt{3}x$，先求出圓心C（1，0）到直線l的距離d，由此利用勾股定理能求出弦AB的長．

解答 解：（1）∵圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
∴圓C的普通方程為（x-1）²+y²=4，
即x²+y²=2x+3，
由ρ²=x²+y²，x=ρcosα，y=ρsinα，
∴圓C的極坐標(biāo)方程為ρ²=2ρcosθ+3．
（2）∵直線l的極坐標(biāo)方程是θ=$\frac{π}{3}$，∴直線l的直角坐標(biāo)方程是y=$\sqrt{3}x$，
圓C：（x-1）²+y²=4的圓心C（1，0），半徑r=2，
圓心C（1，0）到直線l的距離d=$\frac{|\sqrt{3}|}{\sqrt{3+1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，
∴弦AB的長|AB|=$2\sqrt{{r}^{2}-8coio0i^{2}}$=2$\sqrt{4-\frac{3}{4}}$=$\sqrt{13}$．

點(diǎn)評 本題考查圓的極坐標(biāo)方程的求法，考查弦長的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)、直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化公式的合理運(yùn)用．