Question

16．已知△ABC中，∠A=30°，2AB，BC分別是$2\sqrt{3}+\sqrt{11}$、$2\sqrt{3}-\sqrt{11}$的等差中項與等比中項，則△ABC的面積等于（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$或$\sqrt{3}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$或$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$

Answer 1

分析 由等差中項與等比中項的定義求出AB=$\sqrt{3}$，BC=1，由余弦定理得AC=1或AC=2，由此能求出△ABC的面積．

解答 解：△ABC中，∠A=30°，2AB，BC分別是$2\sqrt{3}+\sqrt{11}$、$2\sqrt{3}-\sqrt{11}$的等差中項與等比中項，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2AB=\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{11}+2\sqrt{3}-\sqrt{11}}{2}}\\{B{C}^{2}=（2\sqrt{3}+\sqrt{11}）（2\sqrt{3}-\sqrt{11}）}\end{array}\right.$，
解得AB=$\sqrt{3}$，BC=1，
∴由余弦定理得：${1}^{2}=（\sqrt{3}）^{2}+A{C}^{2}-2\sqrt{3}×AC×cos30°$，
解得AC=1或AC=2，
當AC=1時，△ABC的面積S=$\frac{1}{2}AC•AB•sin30°$=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
當AC=2時，△ABC的面積S=$\frac{1}{2}AC•AB•sin30°$=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故選：D．

點評 本題考查三角形面積的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等比中項、等差中項、余弦定理的合理運用．