Question

12．已知函數(shù)f（x）對(duì)任意x∈R滿足f（x+1）=f（x-1），且f（x）是偶函數(shù)，當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，f（x）=-x²+1，若方程f（x）=a|x|至少有4個(gè)相異實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，4-2$\sqrt{3}$]．

Answer 1

分析 由題意可判斷函數(shù)數(shù)f（x）的周期T=2，從而作f（x）與g（x）=a|x|的圖象，結(jié)合圖象可知a≥0；且當(dāng)在（1，3）上相切時(shí)取得另一個(gè)臨界值，利用導(dǎo)數(shù)求出此時(shí)的a，即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：由題意知，函數(shù)f（x）的周期T=2，
且f（x）是偶函數(shù)，當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，f（x）=-x²+1；
作f（x）與g（x）=a|x|的圖象如下，

結(jié)合圖象可知，a≥0；
當(dāng)在（1，3）上相切時(shí)，
f（x）=-（x-2）²+1，f′（x）=-2（x-2），
故-2（x-2）=$\frac{-（x-2）^{2}+1}{x}$，
解得，x=$\sqrt{3}$；
故a=f′（$\sqrt{3}$）=-2（$\sqrt{3}$-2）=4-2$\sqrt{3}$；
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，4-2$\sqrt{3}$]．
故答案為：[0，4-2$\sqrt{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了方程的根與函數(shù)的圖象的關(guān)系應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，屬于中檔題．