Question

5．已知拋物線y²=2px（p＞0），過點C（-2，0）的直線l交拋物線于A，B兩點，坐標原點為O，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=12
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）當以AB為直徑的圓的面積為16π時，求△AOB的面積S的值．

Answer 1

分析 （I）設l：x=my-2，代入y²=2px，得y²-2pmx+4p=0，設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韋達定理結合$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=12$，求解p，即可得到拋物線方程．
（Ⅱ）由聯(lián)立直線與拋物線方程，得到y(tǒng)²-4my+8=0，利用弦長公式，以AB為直徑的圓的面積為16π，求出圓的直徑，推出$\sqrt{（{1+{m^2}}）（{16{m^2}-32}）}=8$，求解m，求解原點O（0，0）到直線$l：x+\sqrt{3}y+2=0$的距離，然后求解三角形的面積．

解答 解：（I）設l：x=my-2，代入y²=2px，得y²-2pmx+4p=0，（*）
設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=2pm，y₁y₂=4p，則${x_1}{x_2}=\frac{y_1^2y_2^2}{{4{p^2}}}=4$，
因為$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=12$，
所以x₁x₂+y₁y₂=12，即4+4p=12，解得p=2．
所以拋物線的方程為y²=4x．
（Ⅱ）由（I）（*）化為y²-4my+8=0，則y₁+y₂=4m，y₁y₂=8．
又$|{AB}|=\sqrt{1+{m^2}}|{{y_1}-{y_2}}|=\sqrt{（{1+{m^2}}）（{16{m^2}-32}）}$，
因為以AB為直徑的圓的面積為16π，
所以圓的半徑為4，直徑|AB|=8．
則$\sqrt{（{1+{m^2}}）（{16{m^2}-32}）}=8$，得（1+m²）（16m²-32）=64，得m⁴-m²-6=0，
得（m²-3）（m²+2）=0，得m²=-2（舍去）或m²=3，解得$m=±\sqrt{3}$．
當$m=\sqrt{3}$時，直線l的方程為$x+\sqrt{3}y+2=0$，原點O（0，0）到直線$l：x+\sqrt{3}y+2=0$的距離為$d=\frac{|2|}{{\sqrt{{1^2}+{{（\sqrt{3}）}^2}}}}=1$，且|AB|=8，所以△AOB的面積為$S=\frac{1}{2}|{AB}|•d=\frac{1}{2}×8×1=4$；
當$m=-\sqrt{3}$時，直線l的方程為$x-\sqrt{3}y+2=0$，原點O（0，0）到直線$l：x-\sqrt{3}y+2=0$的距離為$d=\frac{|2|}{{\sqrt{{1^2}+{{（-\sqrt{3}）}^2}}}}=1$，且|AB|=8，所以△AOB的面積為$S=\frac{1}{2}|{AB}|•d=\frac{1}{2}×8×1=4$．
綜上，△AOB的面積為4．

點評 本題考查拋物線的簡單性質(zhì)以及拋物線方程的求法，直線與拋物線的位置關系的應用，考查轉化思想以及計算能力．