Question

1．已知各項(xiàng)均不為0的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)任意正整數(shù)n，有4S_n=（2n+1）a_n+1．
（1）求a₁的值及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）對(duì)一切正整數(shù)n，設(shè)b_n=$\frac{（-1）^{n}4n}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）分類討論，當(dāng)n≥2時(shí)，化簡(jiǎn)可得（2n-3）a_n=（2n-1）a_n-1，從而可得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{2n-1}{2n-3}$，從而利用累乘法求通項(xiàng)公式；
（2）化簡(jiǎn)b_n=$\frac{（-1）^{n}4n}{（2n-1）（2n+1）}$=（-1）ⁿ（$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$），從而可得當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，b_n+b_n+1=$\frac{1}{2n+3}$-$\frac{1}{2n-1}$，從而分類討論求和．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，4S₁=3a₁+1，
解得，a₁=1；
當(dāng)n≥2時(shí)，4S_n=（2n+1）a_n+1，4S_n-1=（2n-1）a_n-1+1，
兩式作差整理可得，
（2n-3）a_n=（2n-1）a_n-1，
故$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{2n-1}{2n-3}$，
故a₁=1，$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{3}{1}$，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{5}{3}$，
…，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{2n-1}{2n-3}$，
累乘可得，a_n=2n-1；
綜上所述，a_n=2n-1．
（2）b_n=$\frac{（-1）^{n}4n}{（2n-1）（2n+1）}$=（-1）ⁿ（$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$），
故當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，
b_n+b_n+1=-（$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$）+（$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{1}{2n+3}$）=$\frac{1}{2n+3}$-$\frac{1}{2n-1}$，
S_n=S_n+1-b_n+1
=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_n+b_n+1）-（$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{1}{2n+3}$）
=$\frac{1}{5}$-1+$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n+3}$-$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$
=$\frac{1}{2n+3}$-1-$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$=-$\frac{2n+2}{2n+1}$．
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
S_n=S_n-1+$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$
=-1-$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$
=-1+$\frac{1}{2n+1}$=-$\frac{2n}{2n+1}$；
綜上所述，S_n=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2n+2}{2n+1}，n為奇數(shù)}\\{-\frac{2n}{2n+1}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用，同時(shí)考查了累乘法與裂項(xiàng)求和法的應(yīng)用，屬于中檔題．