Question

6．求函數(shù)y=$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}}{2+x}$的最大值．

Answer 1

分析 易知函數(shù)y=$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}}{2+x}$的定義域為[-1，1]，從而化簡可得（1+y²）x²+4y²x+4y²-1=0，利用判別式求解．

解答 解：易知函數(shù)y=$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}}{2+x}$的定義域為[-1，1]，
故y=$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}}{2+x}$=$\sqrt{\frac{1-{x}^{2}}{（2+x）^{2}}}$，
故y²=$\frac{1-{x}^{2}}{（2+x）^{2}}$，
故（2+x）²y²=1-x²，
即（1+y²）x²+4y²x+4y²-1=0，
故△=（4y²）²-4（1+y²）（4y²-1）≥0，
解得，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤y≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故最大值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了函數(shù)與方程的關(guān)系應(yīng)用及判別式法的應(yīng)用，屬于中檔題．