已知直角梯形,是邊上的中點(diǎn)(如圖甲),,,,將沿折到的位置,使,點(diǎn)在上,且(如圖乙)
(Ⅰ)求證:平面ABCD.
(Ⅱ)求二面角E?AC?D的余弦值
(Ⅰ)見(jiàn)詳解;(Ⅱ)
解析試題分析:先證,且,平面ABCD;根據(jù)幾何法或向量法求出二面角E?AC?D的余弦值.
試題解析:
(Ⅰ)證明:在題圖中,由題意可知,
,ABCD為正方形,所以在圖中,,
四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/ab/a/nnvbe.png" style="vertical-align:middle;" />,且,
所以平面SAB, (3分)
又平面SAB,所以,且,
所以平面ABCD. (6分)
(Ⅱ)解:方法一: 如圖,在AD上取一點(diǎn)O,使,連接EO.
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/f3/d/cgcb61.png" style="vertical-align:middle;" />,所以EO//SA , (7分)
所以平面ABCD,過(guò)O作于H,連接EH,
則平面EOH,所以.
所以為二面角E?AC?D的平面角, (9分)
. 在Rt△AHO中,
. (11分)
所以二面角E?AC?D的余弦值為. (12分)
方法二:以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,
, (7分)
易知平面ACD的法向量為,
設(shè)平面EAC的法向量為,
, (9分)
由 所以 可取
所以, (11分)
所以,
所以二面角E?AC?D的余弦值為. (12分)
考點(diǎn):線面垂直,二面角.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=5,AC=4,BC=3,AA1=4,D是AB的中點(diǎn).
(1)求證:AC⊥B1C;
(2)求證:AC1∥平面B1CD;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知如圖,平行四邊形中,,,,正方形所在平面與平面垂直,分別是的中點(diǎn)。
⑴求證:平面;
⑵求平面與平面所成的二面角的正弦值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐A-BCDE中,底面四邊形BCDE是等腰梯形,BC∥DE, =45 ,O是BC的中點(diǎn),AO= ,且BC=6,AD=AE=2CD=2 ,
(1)證明:AO⊥平面BCD;(2)求二面角A-CD-B的平面角的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,四棱錐的底面是直角梯形,,,和是兩個(gè)邊長(zhǎng)為的正三角形,,為的中點(diǎn),為的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求證:平面;
(Ⅲ)求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,四棱錐中,側(cè)面是等邊三角形,在底面等腰梯形中,,,,,為的中點(diǎn),為的中點(diǎn),.
(1)求證:平面平面;
(2)求證:平面.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知長(zhǎng)方體中,底面為正方形,面,,,點(diǎn)在棱上,且.
(Ⅰ)試在棱上確定一點(diǎn),使得直線平面,并證明;
(Ⅱ)若動(dòng)點(diǎn)在底面內(nèi),且,請(qǐng)說(shuō)明點(diǎn)的軌跡,并探求長(zhǎng)度的最小值.
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