已知如圖,平行四邊形中,,,,正方形所在平面與平面垂直,分別是的中點(diǎn)。

⑴求證:平面;
⑵求平面與平面所成的二面角的正弦值。

(1)詳見解析;(2).

解析試題分析:(1)證明線面平行,一般可考慮線面平行的判定定理,構(gòu)造面外線平行于面內(nèi)線,其手段一般是構(gòu)造平行四邊形,或構(gòu)造三角形中位線(特別是有中點(diǎn)時(shí)),由此本題即要證明的中點(diǎn)也是的中點(diǎn),于是只要證明四邊形是平行四邊形,此較為容易;(2)求二面角一般分為三個(gè)步驟:作出二面角的平面角,證明此角是二面角的平面角,利用解三角形知識(shí)求出二面角的三角函數(shù)值,也可建立空間直角坐標(biāo)系,求出兩平面的法向量的夾角,根進(jìn)一步判斷二面角的大小.
試題解析:⑴證明;,,,
四邊形是平行四邊形,的中點(diǎn),又的中點(diǎn)
,平面平面,
平面                       4分
⑵(解法1)過點(diǎn),易知中點(diǎn),連結(jié).
易知,平面,,
是平面與平面所成的二面角的平面角.      8分
,
,
即平面與平面所成的二面角的正弦值為.          12分
(解法2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),所在的直線分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,    6分
,
設(shè)平面的法向量,得,
,又平面的法向量為,      9分
設(shè)平面與平面所成的二面角為,則,

即平面與平面所成的二面角的正弦值為.          12分
考點(diǎn):空間中線面的位置關(guān)系,二面角.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=,AA1=3,D是BC的中點(diǎn),點(diǎn)E在棱BB1上運(yùn)動(dòng).

(Ⅰ)證明:AD⊥C1E;
(Ⅱ)當(dāng)異面直線AC,C1E 所成的角為60°時(shí),求三棱錐C1-A1B1E的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)棱AA1⊥底面ABC,∠ACB = 90°,E是棱CC1上動(dòng)點(diǎn),F(xiàn)是AB中點(diǎn),AC = 1,BC = 2,AA1 = 4.

(Ⅰ)當(dāng)E是棱CC1中點(diǎn)時(shí),求證:CF∥平面AEB1;
(Ⅱ)在棱CC1上是否存在點(diǎn)E,使得二面角A—EB1—B的余弦值是,若存在,求CE的長,若不存在,請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,四邊形ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=2(1)PD.

(1)證明:平面PQC⊥平面DCQ;
(2)求二面角D—PQ—C的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,AC是圓O的直徑,點(diǎn)B在圓O上,,交AC于點(diǎn)M,EA⊥平面ABC,F(xiàn)C∥EA,AC=4,EA=3,F(xiàn)C=1,

(1)證明
(2)(文科)求三棱錐的體積
(理科)求平面和平面所成的銳二面角的正切值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

四棱錐中,⊥底面,,,.

(Ⅰ)求證:⊥平面;
(Ⅱ)若側(cè)棱上的點(diǎn)滿足,求三棱錐的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,四棱錐的底面為正方形,底面,分別是的中點(diǎn).

(1)求證:平面;
(2)求證:平面平面
(3)若,求與平面所成的角的大小.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知直角梯形,邊上的中點(diǎn)(如圖甲),,,將沿折到的位置,使,點(diǎn)上,且(如圖乙)

(Ⅰ)求證:平面ABCD.
(Ⅱ)求二面角E?AC?D的余弦值

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,在四棱錐中,底面為菱形,,的中點(diǎn)。

(1)若,求證:平面;
(2)點(diǎn)在線段上,,試確定的值,使;

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案