已知長(zhǎng)方體中,底面為正方形,,,點(diǎn)在棱上,且

(Ⅰ)試在棱上確定一點(diǎn),使得直線平面,并證明;
(Ⅱ)若動(dòng)點(diǎn)在底面內(nèi),且,請(qǐng)說(shuō)明點(diǎn)的軌跡,并探求長(zhǎng)度的最小值.

(Ⅰ)詳見(jiàn)解析;(Ⅱ)點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡是以為圓心,半徑等于2的四分之一圓弧,且長(zhǎng)度的最小值為

解析試題分析:(Ⅰ)先利用證明四邊形為平行四邊形證明從而證明直線平面,或者可以以平面為已知條件出發(fā),利用直線與平面平行的性質(zhì)定理得到,進(jìn)而確定點(diǎn)的位置;(Ⅱ)先確定四邊形的形狀以及各邊的長(zhǎng)度,然后再根據(jù)以及點(diǎn)為定點(diǎn)這一條件確定點(diǎn)的軌跡,在計(jì)算的過(guò)程中,可以利用平面以及從而得到平面,于是得到,進(jìn)而可以由勾股定理,從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)取到最小值時(shí),取到最小值.
試題解析:(Ⅰ)取的四等分點(diǎn),使得,則有平面. 證明如下:   1分
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/c4/b/zwxsr.png" style="vertical-align:middle;" />且,
所以四邊形為平行四邊形,則,   2分
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/16/6/1l4hi4.png" style="vertical-align:middle;" />平面,平面,所以平面.   4分
(Ⅱ)因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/d1/4/ik7pu1.png" style="vertical-align:middle;" />,所以點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡是以為圓心,半徑等于2的四分之一圓。      6分
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/46/a/k703k.png" style="vertical-align:middle;" />,,所以,       7分
.      8分
所以當(dāng)的長(zhǎng)度取最小值時(shí),的長(zhǎng)度最小,此時(shí)點(diǎn)為線段和四分之一圓弧的交點(diǎn),      10分


所以
長(zhǎng)度的最小值為.      12分
考點(diǎn):直線與平面平行、勾股定理、點(diǎn)到圓上一點(diǎn)距離的最值

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