Question

5．為了研究家用轎車在高速公路上的車速情況，交通部門隨機對50名家用轎車駕駛員進行調(diào)查，得到其在高速公路上行駛時的平均車速情況為：在30名男性駕駛員中，平均車速超過100km/h的有20人，不超過100km/h的有10人．在20名女性駕駛員中，平均車速超過100km/h的有5人，不超過100km/h的有15人．
（Ⅰ）完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有99.5%的把握認為平均車速超過100km/h的人與性別有關(guān)；

	平均車速超過100km/h人數(shù)	平均車速不超過100km/h人數(shù)	合計
男性駕駛員人數(shù)
女性駕駛員人數(shù)
合計

（Ⅱ）以上述數(shù)據(jù)樣本來估計總體，現(xiàn)從高速公路上行駛的大量家用轎車中隨機抽取3輛，記這3輛車中駕駛員為女性且車速不超過100km/h的車輛數(shù)為ζ，若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，求ζ的分布列和數(shù)學(xué)期望．
參考公式：${k^2}=\frac{{n（ad-bc{）^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．
參考數(shù)據(jù)：

P（K2≥k0）	0.150	0.100	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，填寫列聯(lián)表，計算觀測值，對照臨界值得出結(jié)論；
（Ⅱ）根據(jù)樣本估計總體的思想，求得從高速公路上行駛的大量家用轎車中隨即抽取1輛，
駕駛員為女性且車速不超過100km/h的車輛的概率，知ξ的可能取值，且ξ～B（3，$\frac{3}{10}$），
計算對應(yīng)的概率，寫出ξ的分布列，計算數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，填寫列聯(lián)表如下；

	平均車數(shù)超過 人數(shù)	平均車速不超過 人數(shù)	合計
男性駕駛員人數(shù)	20	10	30
女性駕駛員人數(shù)	5	15	20
合計	25	25	50

計算K²=$\frac{50{×（20×15-10×5）}^{2}}{30×20×25×25}$=$\frac{25}{3}$≈8.333＞7.879，
所以有99.5%的把握認為平均車速超過100km/h與性別有關(guān)；
（Ⅱ）根據(jù)樣本估計總體的思想，從高速公路上行駛的大量家用轎車中隨即抽取1輛，
駕駛員為女性且車速不超過100km/h的車輛的概率為$\frac{15}{50}=\frac{3}{10}$，
所以ξ的可能取值為0，1，2，3，且ξ～B（3，$\frac{3}{10}$），
∴P（ξ=0）=${C}_{3}^{0}$•${（\frac{3}{10}）}^{0}$•${（\frac{7}{10}）}^{3}$=$\frac{343}{1000}$，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}$•$\frac{3}{10}$•${（\frac{7}{10}）}^{2}$=$\frac{441}{1000}$，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}$•${（\frac{3}{10}）}^{2}$•$\frac{7}{10}$=$\frac{189}{1000}$，
P（ξ=3）=${C}_{3}^{3}$•${（\frac{3}{10}）}^{3}$•${（\frac{7}{10}）}^{0}$=$\frac{27}{1000}$；
ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{343}{1000}$	$\frac{441}{1000}$	$\frac{189}{1000}$	$\frac{27}{1000}$

數(shù)學(xué)期望為$E（ξ）=0×\frac{343}{1000}+1×\frac{441}{1000}+2×\frac{189}{1000}+3×\frac{27}{1000}=\frac{9}{10}=0.9$；
或$E（ξ）=np=3×\frac{3}{10}=0.9$．

點評 本題考查了二項分布列的性質(zhì)及其數(shù)學(xué)期望和獨立性檢驗思想方法，屬于中檔題．