Question

14．已知x的不等式|x+3|-|x-1|≤a²-3a，其中a為實(shí)數(shù)．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，解不等式；
（2）若不等式的解集為R，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將a的值代入，通過(guò)討論x的范圍，求出各個(gè)區(qū)間上的不等式的解集，取并集即可；（2）令f（x）=|x+3|-|x-1|，求出f（x）的最大值，得到關(guān)于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）a=1時(shí)，|x+3|-|x-1|≤-2，
令f（x）=|x+3|-|x-1|，
則當(dāng)x＜-3時(shí)，f（x）=-x-3+x-1=-4≤-2，成立，
當(dāng)-3≤x≤1時(shí)，f（x）=2x+2≤-2，解得：x≤-2，
當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=x+3-x+1=4＞-2，不成立，
故不等式的解集是{x|x≤-2}，
（2）：令f（x）=|x+3|-|x-1|，
則當(dāng)x＜-3時(shí)，f（x）=-x-3+x-1=-4；
當(dāng)-3≤x≤1時(shí)，f（x）=2x+2∈[-4，4]；
當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=x+3-x+1=4；
∴f（x）_max=4．
∵不等式|x+3|-|x-1|≤a²-3a的解集是R，
∴a²-3a≥f（x）_max=4，
∴a²-3a-4≥0．
解得：a≥4或a≤-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式，考查構(gòu)造函數(shù)思想與方程思想，考查理解題意與推理運(yùn)算的能力，屬于中檔題．