Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³+

b

2

x²+cx．
（1）若b=2，c=-1，求y=|f（x）|的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若b=-6，g（x）=|f（x）|，若g（x）≤kx對(duì)一切x∈[0，2]恒成立，求k的最小值及h（c）的表達(dá)式．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求y=|f（x）|的單調(diào)增區(qū)間；
（2）分類討論，分離參數(shù)求最值，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）b=2，c=-1時(shí)，f（x）=x³+x²-x，則f′（x）=3x²+2x-1=（x+1）（3x-1），
∴函數(shù)在（-∞，-1）、（

1

3

，+∞）上單調(diào)遞增，在（-1，

1

3

）上單調(diào)遞減，
又f（x）=0，可得x=0或x=

-1± 5

2

，
∴y=|f（x）|的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-1）、（0，

1

3

）、（

-1+ 5

2

，+∞）；
（2）b=-6，g（x）=|f（x）|=|x³-3x²+cx|，
g（x）≤kx，x=0時(shí)恒成立；
x≠0時(shí)，k≥|x²-3x+c|=|（x-1.5）²-2.25+c|，對(duì)一切x∈（0，2]恒成立，
∴△=9-4c≤0，即c≥2.25時(shí)，k≥c；
△＞0，即c＜2.25，

9

8

＜c＜2.25時(shí)，k≥c；
c≤

9

8

時(shí)，k≥2.25-c，
∴c＞

9

8

時(shí)，k的最小值為c，h（c）=c；c≤

9

8

時(shí)，k的最小值為2.25-c，h（c）=2.25-c．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．