Question

已知函數(shù)f（x）=x²-5x+3-

k(x-1)

ex

，g（x）=-x+xlnx（k∈R），若對于?x₁∈（1，+∞），?x₂∈（0，+∞）都有f（x₁）≥g（x₂）成立，則k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)恒成立問題

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：對于?x₁∈（1，+∞），?x₂∈（0，+∞）都有f（x₁）≥g（x₂）成立，即為f（x₁）≥g（x₂）_min在x＞1恒成立．可先求出g（x）的最小值-1，再由-1≤x²-5x+3-

k(x-1)

ex

在x＞1恒成立，即為k≤（x-4）•e^x在x＞1恒成立，令h（x）=（x-4）•e^x，運用導(dǎo)數(shù)求出極小值也為最小值，只要k不大于最小值，即可得到k的范圍．

解答： 解：對于?x₁∈（1，+∞），?x₂∈（0，+∞）都有f（x₁）≥g（x₂）成立，
即為f（x₁）≥g（x₂）_min在x＞1恒成立．
對于g（x）=-x+xlnx，g′（x）=-1+lnx+1=lnx，
g′（x）＞0則x＞1，g′（x）＜0則0＜x＜1，
即有x=1為極小值點，且為最小值點，g（1）=-1．
則有-1≤x²-5x+3-

k(x-1)

ex

在x＞1恒成立，
即

k(x-1)

ex

≤x²-5x+4在x＞1恒成立，即有k≤（x-4）•e^x，
令h（x）=（x-4）•e^x，h′（x）=（x-3）•e^x，
在x＞3時，h′（x）＞0，在1＜x＜3時，h′（x）＜0，
則x=3時，h（x）取極小值也為最小值，h（3）=-e³，
則有k≤-e³．
故答案為：（-∞，-e³]．

點評：本題考查不等式的恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想方法，即轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，注意運用導(dǎo)數(shù)求解，屬于中檔題和易錯題．