Question

16．已知$\overrightarrow a、\overrightarrow b$是非零向量且滿足（$\overrightarrow a$-2$\overrightarrow b$）⊥$\overrightarrow a$，（$\overrightarrow b$-2$\overrightarrow a$）⊥$\overrightarrow b$，則$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角是（　　）

• A． 30°
• B． 60°
• C． 90°
• D． 120°

Answer 1

分析 根據(jù)向量垂直的關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積為0，結(jié)合向量數(shù)量積的應(yīng)用進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵（$\overrightarrow a$-2$\overrightarrow b$）⊥$\overrightarrow a$，（$\overrightarrow b$-2$\overrightarrow a$）⊥$\overrightarrow b$，
∴（$\overrightarrow a$-2$\overrightarrow b$）•$\overrightarrow a$=0，（$\overrightarrow b$-2$\overrightarrow a$）•$\overrightarrow b$=0，
即$\overrightarrow a$²-2$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=0，$\overrightarrow b$²-2$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=0，
即$\overrightarrow a$²=2$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$，$\overrightarrow b$²=2$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$，
則|$\overrightarrow a$|=$\overrightarrow b$|=$\sqrt{2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$，
則cos＜$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}=\frac{1}{2}$，
即＜$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$＞=60°，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查向量夾角的計(jì)算，根據(jù)向量垂直以及向量夾角與向量數(shù)量積的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．