Question

4．若a、b、c都是正數(shù)，且a+b+c=2，則$\frac{4}{a+1}$+$\frac{1}{b+c}$的最小值為3．

Answer 1

分析 由題意可得a+1+b+c=3，得到$\frac{4}{a+1}$+$\frac{1}{b+c}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{4}{a+1}$+$\frac{1}{b+c}$）（a+1+b+c），由基本不等式求最值可得．

解答 解：a，b，c都是正數(shù)，且a+b+c=2，
∴a+1+b+c=3，且a+1＞0，且b+c＞0，
∴$\frac{4}{a+1}$+$\frac{1}{b+c}$
=$\frac{1}{3}$（$\frac{4}{a+1}$+$\frac{1}{b+c}$）（a+1+b+c）
=$\frac{1}{3}$[5+$\frac{4（b+c）}{a+1}$+$\frac{a+1}{b+c}$]
≥$\frac{1}{3}$[5+2 $\sqrt{\frac{4（b+c）}{a+1}•\frac{a+1}{b+c}}$]=3
當且僅當 $\frac{4（b+c）}{a+1}$=$\frac{a+1}{b+c}$，
即a=1且b+c=2時取等號，
故答案為：3．

點評 本題考查基本不等式求最值，準確變形是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．