Question

13．在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，底面ABC為直角三角形，$∠BAC=\frac{π}{2}$，AB=AC=AA₁=1．已知G與E分別為A₁B₁和CC₁的中點(diǎn)，D與F分別為線段AC和AB上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)）．若GD⊥EF，求線段DF的長度的最小值．

Answer 1

分析 建立直角坐標(biāo)系，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，可得F（t₁，0，0）（0＜t₁＜1），E（0，1，$\frac{1}{2}$），G（$\frac{1}{2}$，0，1），D（0，t₂，0）（0＜t₂＜1）．可得$\overrightarrow{EF}$=（t₁，-1，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{GD}$=（-$\frac{1}{2}$，t₂，-1），利用GD⊥EF，由此推出 0＜t₂＜$\frac{1}{2}$．再利用向量的模的計(jì)算公式和二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：建立直角坐標(biāo)系，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，
則F（t₁，0，0）（0＜t₁＜1），E（0，1，$\frac{1}{2}$），G（$\frac{1}{2}$，0，1），D（0，t₂，0）（0＜t₂＜1）．
∴$\overrightarrow{EF}$=（t₁，-1，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{GD}$=（-$\frac{1}{2}$，t₂，-1）．
∵GD⊥EF，∴t₁+2t₂=1，由此推出 0＜t₂＜$\frac{1}{2}$．
又$\overrightarrow{DF}$=（t₁，-t₂，0），
∴|$\overrightarrow{DF}$|=$\sqrt{{{t}_{1}}^{2}+{{t}_{2}}^{2}}$=$\sqrt{5（{t}_{2}-\frac{2}{5}）^{2}+\frac{1}{5}}$，
∴當(dāng)t₂=$\frac{2}{5}$時(shí)，線段DF的長度的最小值為$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了通過建立空間直角坐標(biāo)系利用向量的運(yùn)算及模的計(jì)算公式和二次函數(shù)的單調(diào)性解決問題，考查了推理能力和空間想象能力、計(jì)算能力，屬于難題．