Question

【題目】已知，，．

（1）若，證明：；

（2）對(duì)任意，都有，求整數(shù)的最大值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）2

【解析】

（1）構(gòu)造函數(shù)，利用二次求導(dǎo)可證明結(jié)論成立；

（2）利用時(shí)，不等式成立以及（1）的結(jié)論，可得，從而只需證明在區(qū)間恒成立即可．再根據(jù)（1）的結(jié)論，轉(zhuǎn)化為證明在上恒成立.利用導(dǎo)數(shù)即可證明，由此可得結(jié)果.

（1）設(shè)，則，

因?yàn)?/span>，且，

則在單調(diào)遞減，因?yàn)?/span>，，

所以存在唯一零點(diǎn)，使得，

所以時(shí)，，時(shí)，，

則在時(shí)單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

又，，

所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，

則，即．

所以．

（2）因?yàn)閷?duì)任意的，不等式，

即恒成立，

令，則，

由（1）知，所以，

由于為滿足的整數(shù)，則，

因此．

下面證明在區(qū)間恒成立即可．

由（1）知，則，

故，

設(shè)，，則，

所以在上單調(diào)遞減，

所以，所以在上恒成立．

綜上所述，的最大值為2．