Question

【題目】如圖所示，四棱錐 的底面為直角梯形， ， ， ， ， 底面 ， 為 的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：平面 平面
（Ⅱ）求直線 與平面 所成的角的正弦值.

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）以點(diǎn) 為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線 ， ， 分別為 ， ， 軸建立空間直角坐標(biāo)系 ，則 ， ， ， ， ， .

∴ ， ， ，

∴ ， ，

∴ ， ，

又 ， 平面 ， 平面 ，

∴ 平面 ，∵ 平面 ，

∴平面 平面

（Ⅱ） ， ，

設(shè) 是平面 的一個(gè)法向量，則 ，

∴ ，

令 ，則 ， ，即 ，

∴ ， ， ，

∴ .

∴直線 與平面 所成角的正弦值為 .

【解析】(1)由題意建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)以及向量的坐標(biāo)，結(jié)合向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算公式可求出結(jié)果等于零故得出D E ⊥ C A ， D E ⊥ C P再利用線面垂直以及面面垂直的判定定理即可得證。(2)根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，求出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而求出各個(gè)向量的坐標(biāo)，設(shè)出平面PDE的法向量，由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算公式可求出法向量，再利用向量的數(shù)量積運(yùn)算公式求出余弦值即可。