Question

13．已知函數f（x）=x-$\frac{1}{x}$．
（1）指出函數y=f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調性并證明；
（2）當x∈[$\frac{1}{2}$，1]時，求函數y=f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）求f′（x），根據其符號即可得出f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
（2）根據上面即可判斷f（x）在$[\frac{1}{2}，1]$上單調遞增，從而函數f（x）的值域為$[f（\frac{1}{2}），f（1）]$，這樣即得出了f（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上的值域．

解答 解：（1）f′（x）=$1+\frac{1}{{x}^{2}}＞0$；
∴f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
（2）由上面知f（x）在$[\frac{1}{2}，1]$上單調遞增，$f（\frac{1}{2}）=-\frac{3}{2}，f（1）=0$；
∴x∈[$\frac{1}{2}，1$]時，f（x）的值域為[$-\frac{3}{2}，0$]．

點評 考查根據函數導數符號判斷函數單調性的方法，要正確求導，以及根據函數單調性的定義求函數在閉區(qū)間上的值域．