Question

5．已知正項數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=$\frac{5+2{a}_{n}}{16-8{a}_{n}}$，試求{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 通過對a_n+1=$\frac{5+2{a}_{n}}{16-8{a}_{n}}$變形可知a_n+1-$\frac{1}{2}$=$\frac{3（{a}_{n}-\frac{1}{2}）}{8-4{a}_{n}}$，通過記b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-\frac{1}{2}}$可知a_n=$\frac{1}{_{n}}$+$\frac{1}{2}$、b_n+1=2b_n-$\frac{4}{3}$，進而可知數(shù)列{b_n-$\frac{4}{3}$}是以$\frac{2}{3}$為首項、2為公比的等比數(shù)列，計算即得結論．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{5+2{a}_{n}}{16-8{a}_{n}}$，
∴a_n+1-$\frac{1}{2}$=$\frac{5+2{a}_{n}}{16-8{a}_{n}}$-$\frac{1}{2}$
=$\frac{（5+2{a}_{n}）-（8-4{a}_{n}）}{16-8{a}_{n}}$
=$\frac{3（{a}_{n}-\frac{1}{2}）}{8-4{a}_{n}}$，
∵a₁=1≠$\frac{1}{2}$，
∴a_n≠$\frac{1}{2}$，
記b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-\frac{1}{2}}$，則a_n=$\frac{1}{_{n}}$+$\frac{1}{2}$，
∵b_n+1=$\frac{1}{{a}_{n+1}-\frac{1}{2}}$
=$\frac{8-4{a}_{n}}{3（{a}_{n}-\frac{1}{2}）}$
=$\frac{8-4（\frac{1}{_{n}}+\frac{1}{2}）}{3（\frac{1}{_{n}}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}）}$
=$\frac{6-\frac{4}{_{n}}}{\frac{3}{_{n}}}$
=$\frac{6_{n}-4}{3}$
=2b_n-$\frac{4}{3}$，
∴b_n+1-$\frac{4}{3}$=2（b_n-$\frac{4}{3}$），
又∵b₁-$\frac{4}{3}$=$\frac{1}{{a}_{1}-\frac{1}{2}}$-$\frac{4}{3}$=$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{4}{3}$=$\frac{2}{3}$，
∴數(shù)列{b_n-$\frac{4}{3}$}是以$\frac{2}{3}$為首項、2為公比的等比數(shù)列，
∴b_n-$\frac{4}{3}$=$\frac{2}{3}$•2^n-1=$\frac{1}{3}$•2ⁿ，
∴b_n=$\frac{4}{3}$+$\frac{1}{3}$•2ⁿ=$\frac{4+{2}^{n}}{3}$，
∴$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{3}{4+{2}^{n}}$，
∴a_n=$\frac{1}{_{n}}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{4+{2}^{n}}$+$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項，對表達式的靈活變形是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于難題．