20.已知函數(shù)f(x)=ax+$\frac{1}{x}$+(1-a)lnx.
(1)當a=2時,求曲線y=f(x)在x=1處的切線方程;
(2)若a≤0,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

分析 (1)求出a=2的函數(shù)的解析式和導數(shù),求得切線的斜率和切點,即可得到切線方程;
(2)求出函數(shù)的導數(shù),對a討論,a=0,a<0,①若a=-1,②若a<-1時,③若0>a>-1時,令導數(shù)大于0,可得增區(qū)間,令導數(shù)小于0,可得減區(qū)間.

解答 解:(1)當a=2時,f(x)=2x+$\frac{1}{x}$-lnx,
導數(shù)為f′(x)=2-$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$,
曲線y=f(x)在x=1處的切線斜率為k=2-1-1=0,
切點為(1,3),
則有曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為y=3;
(2)函數(shù)f(x)=ax+$\frac{1}{x}$+(1-a)lnx的導數(shù)為
f′(x)=a-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1-a}{x}$=$\frac{a{x}^{2}-1+(1-a)x}{{x}^{2}}$=$\frac{(x-1)(ax+1)}{{x}^{2}}$(x>0),
當a=0時,由f′(x)>0可得x>1;f′(x)<0可得0<x<1.
即有f(x)在(0,1)遞減,在(1,+∞)遞增;
當a<0時,①若a=-1則f′(x)≤0,則有f(x)在(0,+∞)遞減;
②若a<-1時,1>-$\frac{1}{a}$,由f′(x)>0可得-$\frac{1}{a}$<x<1;
f′(x)<0可得x>1或0<x<-$\frac{1}{a}$.
則有f(x)在(0,-$\frac{1}{a}$),(1,+∞)遞減,在(-$\frac{1}{a}$,1)遞增;
③若0>a>-1時,1<-$\frac{1}{a}$,由f′(x)>0可得1<x<-$\frac{1}{a}$;
f′(x)<0可得0<x<1或x>-$\frac{1}{a}$.
則有f(x)在(0,1),(-$\frac{1}{a}$,+∞)遞減,在(1,-$\frac{1}{a}$)遞增.

點評 本題考查導數(shù)的運用:求切線方程和單調(diào)性,主要考查導數(shù)的幾何意義和函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法,運用分類討論的思想方法是解題的關鍵.

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