Question

設(shè)橢圓（a＞b＞0）的長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等于焦距，且x=4為它的右準(zhǔn)線．
（I）求橢圓的方程；
（II）過定點(diǎn)M（m，0）（-2＜m＜2，m≠0為常數(shù)）作斜率為k（k≠0）的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A．B，問在x軸上是否存在一點(diǎn)N，使直線NA與NB的傾斜角互補(bǔ)？若存在，求出N點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）直接利用長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等于焦距，且x=4為它的右準(zhǔn)線列出關(guān)于a，b，c的方程，再求出a，b，c即可求出橢圓的方程；
（II）把 直線方程與橢圓方程聯(lián)立求出點(diǎn)A．B的坐標(biāo)和點(diǎn)N的坐標(biāo)之間的關(guān)系，再結(jié)合直線NA與NB的傾斜角互補(bǔ)的對(duì)應(yīng)結(jié)論k_NA+k_NB=0，即可求出N點(diǎn)坐標(biāo)．
解答：解：（Ⅰ）依題意得解之得從而．
∴橢圓方程為．                                          …（4分）
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=k（x-m），
聯(lián)立方程得消去y得（3+4k²）x²-8mk²x+4k²m²-12=0，…（6分）
∵△=64m²k⁴-16（k²m²-3）（3+4k²）=48k²（4-m²）+144＞0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），N（n，0），
則，，（*）
因?yàn)橹本�NA與NB的傾斜角互補(bǔ)等價(jià)于k_NA+k_NB=0，…（8分）
所以，即，…（9分）
即2x₁x₂-（m+n）（x₁+x₂）+2mn=0，
將（*）式代入上式得，
整理得mn=4，∵m≠0，∴，所以，N點(diǎn)存在，且坐標(biāo)為，
因此，存在點(diǎn)N使得直線NA與NB的傾斜角互補(bǔ)．      …（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題．解決這一類型題目的常用方法是：把直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，求出直線與圓錐曲線交點(diǎn)之間的關(guān)系；再結(jié)合其它條件來求對(duì)應(yīng)結(jié)論．