【題目】已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=n2+pn+q(p,q∈R),且a2 , a3 , a5成等比數(shù)列.
(1)求p,q的值;
(2)若數(shù)列{bn}滿足an+log2n=log2bn , 求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn

【答案】
(1)

解法一:

當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=1+p+q,

當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn﹣Sn1…(2分)

=n2+pn+q﹣[(n﹣1)2+p(n﹣1)+q]

=2n﹣1+p.

∵{an}是等差數(shù)列,

∴1+p+q=2×1﹣1+p,得q=0.

又a2=3+p,a3=5+p,a5=9+p

∵a2,a3,a5成等比數(shù)列,

,即(5+p)2=(3+p)(9+p),

解得p=﹣1.

解法二:

設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,

,

, ,q=0.

∴d=2,p=a1﹣1,q=0.

∵a2,a3,a5成等比數(shù)列,

解得a1=0.

∴p=﹣1.


(2)

解法一:

由(1)得an=2n﹣2.

∵an+log2n=log2bn,

∴Tn=b1+b2+b3+…+bn1+bn

=40+2×41+3×42+…+(n﹣1)4n2+n4n1,①

,②

①﹣②得 = =

解法二:

由(1)得an=2n﹣2.

∵an+log2n=log2bn,

∴Tn=b1+b2+b3+…+bn1+bn

=40+2×41+3×42+…+(n﹣1)4n2+n4n1

兩邊對(duì)x取導(dǎo)數(shù)得,

x0+2x1+3x2+…+nxn1=

令x=4,得


【解析】解法一:(1)a1=S1=1+p+q,an=Sn﹣Sn1=2n﹣1+p,由此求出q=0,由a2 , a3 , a5成等比數(shù)列,得p=﹣1.(2)an=2n﹣2, ,由此利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn
解法二:(1)由 ,得d=2,p=a1﹣1,q=0.由a2 , a3 , a5成等比數(shù)列,得p=﹣1.(2)an=2n﹣2. ,由 ,兩邊對(duì)x取導(dǎo)數(shù)得,由此能求出
【考點(diǎn)精析】掌握數(shù)列的前n項(xiàng)和和等差數(shù)列的性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系;在等差數(shù)列{an}中,從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)是它相鄰二項(xiàng)的等差中項(xiàng);相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是等差數(shù)列.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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