Question

10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，得曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ+6sinθ-8cosθ=0（ρ≥0）．
（1）化曲線C₁的參數(shù)方程為普通方程，化曲線C₂的極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程；
（2）直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=-\frac{3}{2}+λt}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）過(guò)曲線C₁與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，求與直線l平行且與曲線C₂相切的直線方程．

Answer 1

分析 （1）由曲線C₁的參數(shù)方程消去參數(shù)θ，能求出曲線C₁的普通方程；曲線C₂的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為ρ²+6ρsinθ-8ρcosθ=0，由此能求出曲線C₂的直角坐標(biāo)方程．
（2）由曲線C₁的方程$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$，能求出曲線C₁與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，從而求出直線l的方程，設(shè)與直線l平行且與曲線C₂相切的直線方程為3x-4y+m=0，利用點(diǎn)到直線的距離公式能求出與直線l平行且與曲線C₂相切的直線方程．

解答 解：（1）由曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)），
消去參數(shù)θ化為普通方程$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$；
由曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ+6sinθ-8cosθ=0（ρ≥0）得ρ²+6ρsinθ-8ρcosθ=0，
化為直角坐標(biāo)方程x²+y²+6y-8x=0，即（x-4）²+（y+3）²=25．
（2）由曲線C₁的方程$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$，
令x=0得y=±3，∴曲線C₁與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為（0，-3），
∵直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=-\frac{3}{2}+λt}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）過(guò)點(diǎn)（0，-3），
∴$\left\{{\begin{array}{l}{0=2+t}\\{-3=-\frac{3}{2}+λt}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{t=-2}\\{λ=\frac{3}{4}}\end{array}}\right.$，
∴直線l的方程為3x-4y-12=0．
設(shè)與直線l平行且與曲線C₂相切的直線方程為3x-4y+m=0，
則圓心C₂（4，-3）到直線l的距離d=r，即$\frac{|3×4-4×（-3）+m|}{{\sqrt{{3^2}+{4^2}}}}=5$，
化為|m+24|=25，解得m=1或-49，
∴與直線l平行且與曲線C₂相切的直線方程為3x-4y+1=0或3x-4y-49=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線的直角坐標(biāo)方程的求法，考查直線方程的求法，考查極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互化、圓的性質(zhì)、直線與圓相切、點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．