已知橢圓：的離心率為，直線:與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線垂直于點(diǎn)，
線段垂直平分線交于點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡的方程；
（Ⅲ）設(shè)與軸交于點(diǎn)，不同的兩點(diǎn)在上，且滿足，求的取值范圍.

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

解析試題分析：（Ⅰ）利用離心率和直線與圓相切得到兩個(gè)等量關(guān)系，確定橢圓方程；（Ⅱ）利用定義法求解曲線方程；（Ⅲ）采用坐標(biāo)法，將向量問(wèn)題坐標(biāo)化，進(jìn)行有效的整理為，然后借助均值不等式進(jìn)行求解范圍.
試題解析：（Ⅰ）∵  
∵直線相切，
∴  ∴       3分
∵橢圓的方程是          6分
（Ⅱ）∵，
∴動(dòng)點(diǎn)到定直線：的距離等于它到定點(diǎn)的距離，
∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡是為準(zhǔn)線，為焦點(diǎn)的拋物線       6分
∴點(diǎn)的軌跡的方程為     9分
（Ⅲ），設(shè)、 
∴ 
∵，∴
∵，化簡(jiǎn)得         11分
∴
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立      13分
∵，又
∴當(dāng)即時(shí)，，故的取值范圍是  14分
考點(diǎn)：1.橢圓方程；2.拋物線的定義；3.坐標(biāo)法的應(yīng)用.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且雙曲線的漸近線與圓相切.
（1）求雙曲線的方程；
（2）設(shè)是雙曲線的右焦點(diǎn)，是雙曲線的右支上的任意一點(diǎn)，試判斷以為直徑的圓與以雙曲線實(shí)軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知、分別是橢圓: 的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且橢圓上存在點(diǎn)，使，其中是坐標(biāo)原點(diǎn)，是實(shí)數(shù)．
（Ⅰ）求的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)取何值時(shí)，的面積最大？最大面積等于多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓,為其右焦點(diǎn)，離心率為.
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(Ⅱ)若點(diǎn)，問(wèn)是否存在直線，使與橢圓交于兩點(diǎn)，且．若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

給定橢圓： ，稱圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓是橢圓的“準(zhǔn)圓”．若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，且其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到的距離為.
(Ⅰ)求橢圓的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；
(Ⅱ)點(diǎn)是橢圓的“準(zhǔn)圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)動(dòng)點(diǎn)作直線，使得與橢圓都只有一個(gè)交點(diǎn)，試判斷是否垂直，并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)恰好是一邊長(zhǎng)為2，一內(nèi)角為的菱形的四個(gè)頂點(diǎn).
（I）求橢圓的方程；
（II）直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求（為原點(diǎn)）面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的右焦點(diǎn)為 ，為橢圓的上頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且兩焦點(diǎn)和短軸的兩端構(gòu)成邊長(zhǎng)為的正方形.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）是否存在直線交與橢圓于， ，且使，使得為的垂心，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn).
（1）求橢圓的方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)C（-1，0）且斜率為的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，試問(wèn)在軸上是否存在點(diǎn)，使是與無(wú)關(guān)的常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在正方形中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，分別將線段和十等分，分點(diǎn)分別記為和，連接，過(guò)作軸的垂線與交于點(diǎn)。

（Ⅰ）求證：點(diǎn)都在同一條拋物線上，并求拋物線的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)作直線與拋物線E交于不同的兩點(diǎn), 若與的面積之比為4:1，求直線的方程。

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