【題目】如圖,AB為圓O的直徑,點E、F在圓O上,ABEF,矩形ABCD所在平面和圓O所在平面垂直,已知AB=2,EF=1.
(I)求證:平面DAF⊥平面CBF;
(II)若BC=1,求四棱錐F-ABCD的體積.
【答案】(I)見解析;(II).
【解析】
(I)通過證明,證得平面,由此證得平面平面.(II)矩形所在平面和圓所在平面垂直,點到邊的距離即為四棱錐FABCD的高,然后利用錐體體積公式求得四棱錐的體積.
(I)
∵AB為圓O的直徑,點F在圓O上
∴AF⊥BF
又矩形ABCD所在平面和圓O所在平面垂直且它們的交線為AB,CB⊥AB
∴CB⊥圓O所在平面
∴AF⊥BC
又BC、 BF為平面CBF上兩相交直線
∴AF⊥平面CBF
又
∴平面DAF⊥平面CBF.
(II)連接OE
∵AB=2,EF=1,ABEF
∴OA=OE=1,即四邊形OEFA為菱形
∴AF=OA=OF=1
∴等邊三角形OAF中,點F到邊OA的距離為
又矩形ABCD所在平面和圓O所在平面垂直
∴點F到邊OA的距離即為四棱錐F-ABCD的高
∴四棱錐F-ABCD的高
又BC=1
∴矩形的ABCD的面積SABCD=
∴
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知, 分別為橢圓: 的左、右焦點,點在橢圓上.
(Ⅰ)求的最小值;
(Ⅱ)設(shè)直線的斜率為,直線與橢圓交于, 兩點,若點在第一象限,且,求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,、是海岸線、上的兩個碼頭,為海中一小島,在水上旅游線上.測得,,到海岸線、的距離分別為,.
(1)求水上旅游線的長;
(2)海中 ,且處的某試驗產(chǎn)生的強水波圓,生成小時時的半徑為.若與此同時,一艘游輪以小時的速度自碼頭開往碼頭,試研究強水波是否波及游輪的航行?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著移動互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展,與餐飲美食相關(guān)的手機APP軟件層出不窮.現(xiàn)從某市使用A和B兩款訂餐軟件的商家中分別隨機抽取100個商家,對它們的“平均送達(dá)時間”進(jìn)行統(tǒng)計,得到頻率分布直方圖如下.
(1)已知抽取的100個使用A款訂餐軟件的商家中,甲商家的“平均送達(dá)時間”為18分鐘,F(xiàn)從使用A款訂餐軟件的商家中“平均送達(dá)時間”不超過20分鐘的商家中隨機抽取3個商家進(jìn)行市場調(diào)研,求甲商家被抽到的概率;
(2)試估計該市使用A款訂餐軟件的商家的“平均送達(dá)時間”的眾數(shù)及平均數(shù);
(3)如果以“平均送達(dá)時間”的平均數(shù)作為決策依據(jù),從A和B兩款訂餐軟件中選擇一款訂餐,你會選擇哪款?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某快餐連鎖店招聘外賣騎手,該快餐連鎖店提供了兩種日工資方案:方案①:規(guī)定每日底薪50元,快遞業(yè)務(wù)每完成一單提成3元;方案②:規(guī)定每日底薪100元,快遞業(yè)務(wù)的前44單沒有提成,從第45單開始,每完成一單提成5元.該快餐連鎖店記錄了每天騎手的人均業(yè)務(wù)量.現(xiàn)隨機抽取100天的數(shù)據(jù),將樣本數(shù)據(jù)分為,,,,,,七組,整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)隨機選取一天,估計這一天該連鎖店的騎手的人均日快遞業(yè)務(wù)量不少于65單的概率;
(2)若騎手甲、乙選擇了日工資方案①,丙、丁選擇了日工資方案②.現(xiàn)從上述4名騎手中隨機選取2人,求至少有1名騎手選擇方案①的概率;
(3)若從人均日收入的角度考慮,請你利用所學(xué)的統(tǒng)計學(xué)知識為新聘騎手做出日工資方案的選擇,并說明理由.(同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】首屆世界低碳經(jīng)濟(jì)大會近日召開,本屆大會的主題為“節(jié)能減排,綠色生態(tài)”.某單位在國家科研部門的支持下,進(jìn)行技術(shù)攻關(guān),采用了新工藝,把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為噸,最多為噸,月處理成本(元)與月處理量(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為,且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價值為元.
(1)該單位每月處理量為多少噸時,才能使每噸的平均處理成本最低?
(2)該單位每月能否獲利?如果獲利,求出最大利潤;如果不獲利,則需要國家至少補貼多少元才能使該單位不虧損?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將3333的方格表中毎個格染三種顏色之一,使得每種顏色的格的個數(shù)相等.若相鄰兩格的顏色不同,則稱其公共邊為“分隔邊".試求分隔邊條數(shù)的最小值。
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