Question

18．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點B，C分別在x軸和y軸非負(fù)半軸上，點A在第一象限，且∠BAC=90°，AB=AC=4，那么O，A兩點間距離的（　�。�

• A． 最大值是$4\sqrt{2}$，最小值是4
• B． 最大值是8，最小值是4
• C． 最大值是$4\sqrt{2}$，最小值是2
• D． 最大值是8，最小值是2

Answer 1

分析 設(shè)A（x，y），B（b，0），C（0，c），由條件∠BAC=90°，可得x²-bx+y²-cy=0，又b²+c²=32，可得A的軌跡方程為（x-$\frac{2}$）²+（y-$\frac{c}{2}$）²=8，運用圓的參數(shù)方程，結(jié)合兩角和的正弦公式和正弦函數(shù)的值域，即可得到最值．

解答 解：設(shè)A（x，y），B（b，0），C（0，c），
則由∠BAC=90°，可得x（x-b）+y（y-c）=0，
即為x²-bx+y²-cy=0，
又|BC|=4$\sqrt{2}$，
即有b²+c²=32，
即有A的軌跡方程為（x-$\frac{2}$）²+（y-$\frac{c}{2}$）²=8，
設(shè)x=$\frac{2}$+2$\sqrt{2}$cosα，y=$\frac{c}{2}$+2$\sqrt{2}$sinα，（0$≤α≤\frac{π}{2}$），
則有x²+y²=$\frac{1}{4}$（b²+c²）+8+2$\sqrt{2}$bcosα+2$\sqrt{2}$csinα
=16+2$\sqrt{2}$（bcosα+csinα），
令b=4$\sqrt{2}$sinθ，c=4$\sqrt{2}$cosθ（0$≤θ≤\frac{π}{2}$），
則有x²+y²=16（cosαsinθ+sinαcosθ）=16+16sin（α+θ），
當(dāng)α+θ=$\frac{π}{2}$時，取得最大值32，即有|AO|最大為4$\sqrt{2}$，
當(dāng)α+θ=0時，取得最小值16，即有|AO|最小為4，
故選：A．

點評 本題考查軌跡方程的求法，主要考查圓的參數(shù)方程的運用：求最值，同時考查兩點的距離公式和正弦函數(shù)的最值求法，注意三角函數(shù)的公式的靈活運用．