Question

8．已知雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左、右焦點與虛軸的一個端點構(gòu)成一個角為120°的三角形，則雙曲線C的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設(shè)虛軸的一個端點M（0，b），結(jié)合焦點F₁、F₂的坐標和∠F₁MF₂=120°，得到c=$\sqrt{3}$b，再用平方關(guān)系化簡得c=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，根據(jù)離心率計算公式即可得到該雙曲線的離心率．

解答 解：雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$，
可得虛軸的一個端點M（0，b），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（-c，0），
設(shè)∠F₁MF₂=120°，得c=$\sqrt{3}$b，
平方得c²=3b²=3（c²-a²），
可得3a²=2c²，
即c=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，
得離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故選：B．

點評 本題給出雙曲線兩個焦點對虛軸一端的張角為120度，求雙曲線的離心率．著重考查了雙曲線的標準方程和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．