Question

求函數(shù)f（x）=

2-sinx

2-cosx

的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值

分析：可以把函數(shù)理解為點(diǎn)（cosx，sinx）到點(diǎn)（2，2）的直線(xiàn)斜率的范圍，利用數(shù)形結(jié)合的思想，求得過(guò)點(diǎn)（2，2）的直線(xiàn)與單位圓相切時(shí)直線(xiàn)的斜率，進(jìn)而求得函數(shù)f（x）的值域．

解答： 解：可以把函數(shù)理解為點(diǎn)（cosx，sinx）到點(diǎn)（2，2）的直線(xiàn)斜率的范圍，
而（cosx，sinx）的點(diǎn)的集合為以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓，如圖

當(dāng)過(guò)點(diǎn)（2，2）的直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，不與圓相切，
設(shè)此直線(xiàn)的方程為y-2=k（x-2），整理得y-kx+2k-2=0，①
圓的方程為x²+y²=1，②
圓心到直線(xiàn)的距離為

|2k-2|

1+k2

=1，整理求得k=

4± 7

3

，
∴f（x）∈[

4- 7

3

，

4+ 7

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值的問(wèn)題．考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用．