Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=aex﹣x（a∈R），其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并說明理由
（Ⅱ）若x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=aex﹣x，得f′（x）=aex﹣1， 當(dāng)a≤0時，f′（x）＜0，f（x）=aex﹣x為R上的減函數(shù)；
當(dāng)a＞0時，令aex﹣1=0，得x=lna，
若x∈（﹣∞，﹣lna），則f′（x）＜0，此時f（x）為的單調(diào)減函數(shù)；
若x∈（﹣lna，+∞），則f′（x）＞0，此時f（x）為的單調(diào)增函數(shù)．
綜上所述，當(dāng)a≤0時，f（x）=aex﹣x為R上的減函數(shù)；
當(dāng)a＞0時，若x∈（﹣∞，﹣lna），f（x）為的單調(diào)減函數(shù)；
若x∈（﹣lna，+∞），f（x）為的單調(diào)增函數(shù)．
（Ⅱ）由題意，x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立，等價于aex﹣x≥e﹣x恒成立，
即x∈[1，2]， 恒成立．
令g（x）= ，則問題等價于a不小于函數(shù)g（x）在[1，2]上的最大值．
由g（x）= = ，函數(shù)y= 在[1，2]上單調(diào)遞減，
令h（x）= ，x∈[1，2]，h′（x）= ．
∴h（x）= 在x∈[1，2]上也是減函數(shù)，
∴g（x）在x∈[1，2]上也是減函數(shù)，
∴g（x）在[1，2]上的最大值為g（1）= ．
故x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立的實數(shù)a的取值范圍是[ ，+∞）．
【解析】（Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后對a分類，當(dāng)a≤0時，f′（x）＜0，f（x）=aex﹣x為R上的減函數(shù)；當(dāng)a＞0時，由導(dǎo)函數(shù)為0求得導(dǎo)函數(shù)的零點，再由導(dǎo)函數(shù)的零點對定義域分段，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號得到原函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立，等價于aex﹣x≥e﹣x恒成立，分離參數(shù)a，可得 恒成立．令g（x）= ，則問題等價于a不小于函數(shù)g（x）在[1，2]上的最大值，然后利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)g（x）在[1，2]上的最大值得答案．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識，掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較．