Question

【題目】.已知函數(shù)，.

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）當(dāng)時(shí)，求證：函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）將代入函數(shù)的解析式得，求出和的值，然后利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程；

（2）可得出，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在定理證明出函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，從而可證明出結(jié)論成立.

（1）當(dāng)時(shí)，，則，，.

因此，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；

（2），則.

，則，令，得，列表如下：

		極大值

所以，函數(shù)在處取得極大值，亦即最大值，即.

令，，則，

所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，

，且，

所以，函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn)，

，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn).

綜上所述，函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn).