Question

16．已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，其前n項和為S_n，數(shù)列{b_n}是公比大于0的等比數(shù)列，且b₁=-2a₁=2，a₃+b₂=-1，S₃+2b₃=7．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=$\frac{（-1）^{n-1}{a}_{n}}{_{n}}$，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（II））c_n=$\frac{（-1）^{n-1}{a}_{n}}{_{n}}$=$\frac{（-1）^{n-1}（2n-3）}{{2}^{n}}$，利用“錯位相加法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比q大于0，又b₁=-2a₁=2，a₃+b₂=-1，S₃+2b₃=7．
∴a₁=-1，-1+2d+2q=-1，3×（-1）+3d+2×2q²=7，
解得d=-2，q=2．
∴a_n=-1+2（n-1）=2n-3，b_n=2ⁿ．
（II）c_n=$\frac{（-1）^{n-1}{a}_{n}}{_{n}}$=$\frac{（-1）^{n-1}（2n-3）}{{2}^{n}}$，
∴數(shù)列{c_n}的前n項和T_n=$\frac{-1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$-$\frac{5}{{2}^{4}}$+…+$\frac{（-1）^{n-2}（2n-5）}{{2}^{n-1}}$+$\frac{（-1）^{n-1}（2n-3）}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=-$\frac{1}{{2}^{2}}$-$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{3}{{2}^{4}}$+…+$\frac{（-1）^{n-2}（2n-5）}{{2}^{n}}$+$\frac{（-1）^{n-1}（2n-3）}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{3}{2}$T_n=-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$-$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（-1）^n-1×$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{（-1）^{n-1}（2n-3）}{{2}^{n+1}}$=$-\frac{1}{2}$+$\frac{-\frac{1}{2}[1-（-\frac{1}{2}）^{n-1}]}{1-（-\frac{1}{2}）}$+$\frac{（-1）^{n-1}（2n-3）}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=-$\frac{5}{9}$+$\frac{2}{9}（-\frac{1}{2}）^{n-1}$+$\frac{（-1）^{n-1}（2n-3）}{3×{2}^{n}}$．

點評 本題考查了“錯位相加法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．